Номер 47, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

47. 1) $49^{0.5x^2 - 1} < (\frac{1}{7})^{-2}$;

2) $(0.16)^{0.5x^2 - 3} > (2.5)^{-3}$;

3) $(0.04)^{3 - 0.5x^2} > 125$;

4) $9^{0.5x^2 - 2.5} < (\frac{1}{3})^{-4}$.

1) Приведем обе части неравенства $49^{0,5x^2 - 1} < (\frac{1}{7})^{-2}$ к одному основанию 7.

Так как $49 = 7^2$ и $(\frac{1}{7})^{-2} = (7^{-1})^{-2} = 7^2$, то неравенство принимает вид:

$(7^2)^{0,5x^2 - 1} < 7^2$

$7^{2(0,5x^2 - 1)} < 7^2$

$7^{x^2 - 2} < 7^2$

Поскольку основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2 < 2$

$x^2 - 4 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 2)(x + 2) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -2$ и $x = 2$.

Ответ: $x \in (-2; 2)$.

2) Приведем обе части неравенства $(0,16)^{0,5x^2 - 3} > (2,5)^{-3}$ к одному основанию. Удобно использовать основание $\frac{2}{5}$.

Преобразуем числа: $0,16 = \frac{16}{100} = \frac{4}{25} = (\frac{2}{5})^2$ и $2,5 = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1}$.

Подставим в исходное неравенство:

$((\frac{2}{5})^2)^{0,5x^2 - 3} > ((\frac{2}{5})^{-1})^{-3}$

$(\frac{2}{5})^{2(0,5x^2 - 3)} > (\frac{2}{5})^3$

$(\frac{2}{5})^{x^2 - 6} > (\frac{2}{5})^3$

Поскольку основание степени $0 < \frac{2}{5} < 1$, показательная функция является убывающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 6 < 3$

$x^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.

3) Приведем обе части неравенства $(0,04)^{3 - 0,5x^2} > 125$ к одному основанию 5.

Преобразуем числа: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1} = (5^2)^{-1} = 5^{-2}$ и $125 = 5^3$.

Подставим в исходное неравенство:

$(5^{-2})^{3 - 0,5x^2} > 5^3$

$5^{-2(3 - 0,5x^2)} > 5^3$

$5^{-6 + x^2} > 5^3$

$5^{x^2 - 6} > 5^3$

Поскольку основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 6 > 3$

$x^2 - 9 > 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) > 0$.

Решением этого квадратного неравенства является объединение интервалов вне корней $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-\infty; -3) \cup (3; \infty)$.

4) Приведем обе части неравенства $9^{0,5x^2 - 2,5} < (\frac{1}{3})^{-4}$ к одному основанию 3.

Так как $9 = 3^2$ и $(\frac{1}{3})^{-4} = (3^{-1})^{-4} = 3^4$, то неравенство принимает вид:

$(3^2)^{0,5x^2 - 2,5} < 3^4$

$3^{2(0,5x^2 - 2,5)} < 3^4$

$3^{x^2 - 5} < 3^4$

Поскольку основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 5 < 4$

$x^2 - 9 < 0$

Разложим левую часть на множители: $(x - 3)(x + 3) < 0$.

Решением этого квадратного неравенства является интервал между корнями $x = -3$ и $x = 3$.

Ответ: $x \in (-3; 3)$.