Номер 44, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

44. 1) $ \begin{cases} 3^{1+\log_3 (x+2y)} = 6x, \\ 3^{x^2-2y} = 9^{0,5x}; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27}, \\ 0,1^x \cdot 10^y = 10^{-8}. \end{cases} $

1) Решим систему уравнений:$\begin{cases} 3^{1+\log_3(x+2y)} = 6x, \\ 3^{x^2-2y} = 9^{0.5x}\end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x+2y > 0$. Также, левая часть первого уравнения $3^{1+\log_3(x+2y)}$ всегда положительна, следовательно, правая часть $6x$ тоже должна быть положительной, откуда $x > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойства степени и логарифма $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{\log_a b} = b$:

$3^1 \cdot 3^{\log_3(x+2y)} = 6x$

$3(x+2y) = 6x$

Разделим обе части на 3:

$x+2y = 2x$

$x = 2y$

Теперь преобразуем второе уравнение, приведя обе части к основанию 3:

$3^{x^2-2y} = (3^2)^{0.5x}$

$3^{x^2-2y} = 3^{2 \cdot 0.5x}$

$3^{x^2-2y} = 3^x$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x^2-2y = x$

Получили систему из двух более простых уравнений:$\begin{cases} x = 2y \\ x^2-2y = x\end{cases}$

Подставим $2y$ из первого уравнения во второе:

$x^2-x = x$

$x^2-2x = 0$

$x(x-2) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Проверим эти значения по ОДЗ ($x > 0$).

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

$x_2 = 2$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $x=2y$:

$2 = 2y \implies y=1$.

Проверим пару $(2; 1)$ по второму условию ОДЗ $x+2y > 0$:

$2+2(1) = 4 > 0$. Условие выполняется.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$.

2) Решим систему уравнений:$\begin{cases} 3^x \cdot 3^y = \frac{1}{27}, \\ 0.1^x \cdot 10^y = 10^{-8}\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и зная, что $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$:

$3^{x+y} = 3^{-3}$

Приравниваем показатели степеней:

$x+y = -3$

Теперь преобразуем второе уравнение. Представим $0.1$ как степень 10: $0.1 = 10^{-1}$.

$(10^{-1})^x \cdot 10^y = 10^{-8}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-x} \cdot 10^y = 10^{-8}$

$10^{-x+y} = 10^{-8}$

Приравниваем показатели степеней:

$-x+y = -8$

Получили систему линейных уравнений:$\begin{cases} x+y = -3 \\ -x+y = -8\end{cases}$

Сложим два уравнения системы, чтобы исключить $x$:

$(x+y) + (-x+y) = -3 + (-8)$

$2y = -11$

$y = -5.5$

Подставим найденное значение $y$ в первое уравнение $x+y=-3$:

$x + (-5.5) = -3$

$x = -3 + 5.5$

$x = 2.5$

Решение системы - пара чисел $(2.5; -5.5)$.

Ответ: $(2.5; -5.5)$.