Номер 46, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

46. 1) $4^{x^2-1} > 64;$

2) $5^{6-2x^2} < \frac{1}{625};$

3) $27 \cdot 3^{x^2-3x} < \left(\frac{1}{3}\right)^{-1};$

4) $8 \cdot 2^{x^2-4x} > \frac{1}{2}.$

1) Решим неравенство $4^{x-1} > 64$.

Для начала приведем обе части неравенства к одному основанию. В данном случае это 4, так как $64 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3$.

Неравенство принимает вид:

$4^{x-1} > 4^3$

Поскольку основание степени $4$ больше 1, показательная функция $y=4^t$ является возрастающей. Это означает, что при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$x - 1 > 3$

Переносим -1 в правую часть:

$x > 3 + 1$

$x > 4$

Таким образом, решение неравенства — все числа, большие 4.

Ответ: $(4; +\infty)$.

2) Решим неравенство $5^{6-2x^2} < \frac{1}{625}$.

Приведем обе части к основанию 5. Мы знаем, что $625 = 5^4$, следовательно, $\frac{1}{625} = \frac{1}{5^4} = 5^{-4}$.

Получаем неравенство:

$5^{6-2x^2} < 5^{-4}$

Основание степени $5 > 1$, поэтому функция является возрастающей, и знак неравенства для показателей сохраняется.

$6 - 2x^2 < -4$

Перенесем 6 в правую часть:

$-2x^2 < -4 - 6$

$-2x^2 < -10$

Разделим обе части на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x^2 > 5$

Это равносильно неравенству $x^2 - 5 > 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 5 = 0$, это $x = \pm\sqrt{5}$.

Парабола $y = x^2 - 5$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает положительные значения за пределами своих корней.

Следовательно, $x < -\sqrt{5}$ или $x > \sqrt{5}$.

Ответ: $(-\infty; -\sqrt{5}) \cup (\sqrt{5}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $27 \cdot 3^{x^2-3x} < (\frac{1}{3})^{-1}$.

Приведем все члены неравенства к основанию 3.

$27 = 3^3$

$(\frac{1}{3})^{-1} = (3^{-1})^{-1} = 3^{(-1)\cdot(-1)} = 3^1 = 3$

Подставим эти значения в исходное неравенство:

$3^3 \cdot 3^{x^2-3x} < 3^1$

Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), упростим левую часть:

$3^{3 + x^2 - 3x} < 3^1$

Так как основание $3 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x^2 - 3x + 3 < 1$

$x^2 - 3x + 2 < 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Парабола $y = x^2 - 3x + 2$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $1 < x < 2$.

Ответ: $(1; 2)$.

4) Решим неравенство $8 \cdot 2^{x^2-4x} > \frac{1}{2}$.

Приведем все члены неравенства к основанию 2.

$8 = 2^3$

$\frac{1}{2} = 2^{-1}$

Подставляем в неравенство:

$2^3 \cdot 2^{x^2-4x} > 2^{-1}$

Упростим левую часть, сложив показатели степеней:

$2^{3 + x^2 - 4x} > 2^{-1}$

Так как основание $2 > 1$, переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:

$x^2 - 4x + 3 > -1$

$x^2 - 4x + 4 > 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $(x-2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(x-2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть $\ge 0$). Выражение $(x-2)^2$ равно нулю только при $x-2 = 0$, то есть при $x=2$. Во всех остальных случаях оно строго больше нуля.

Таким образом, неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x=2$.

Ответ: $(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.