Номер 53, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

53. 1) $5^{\sin x} > \frac{1}{5};$

3) $4^{\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})} < \frac{1}{4};$

2) $7^{\cos x} < \frac{1}{7};$

4) $6^{\sin(x - \frac{\pi}{4})} > (\sqrt{6})^{\sqrt{6}}.$

1) Решим неравенство $5^{\sin x} > \frac{1}{5}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\sin x} > 5^{-1}$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\sin x > -1$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Неравенство $\sin x > -1$ выполняется для всех значений $x$, при которых $\sin x$ не равен $-1$.

Найдем значения $x$, при которых $\sin x = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решение исходного неравенства — это все действительные числа, кроме указанных.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $7^{\cos x} < \frac{1}{7}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $7^{\cos x} < 7^{-1}$.

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$\cos x < -1$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Не существует таких значений $x$, при которых $\cos x$ был бы строго меньше $-1$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

3) Решим неравенство $4^{\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})} < \frac{1}{4}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $4^{\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})} < 4^{-1}$.

Так как основание $4 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) < -1$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(x+\frac{\pi}{4}) < -\frac{1}{\sqrt{2}}$, или $\cos(x+\frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x+\frac{\pi}{4}$. Получим неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является интервал, где косинус меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между углами $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x+\frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $6^{\sin(x-\frac{\pi}{4})} > (\sqrt{6})^{\sqrt{2}}$.

Преобразуем правую часть неравенства: $(\sqrt{6})^{\sqrt{2}} = (6^{\frac{1}{2}})^{\sqrt{2}} = 6^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Неравенство принимает вид: $6^{\sin(x-\frac{\pi}{4})} > 6^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей:

$\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x-\frac{\pi}{4}$. Получим неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является интервал, где синус больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между углами $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x-\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.