Номер 60, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

60. 1) $\frac{\lg x}{x - 3} > 0;$

2) $\frac{3 - 2x}{\log_{5} x} > 0;$

3) $\frac{\log_{4} x}{x - 4} < 0;$

4) $\frac{x + 1}{\log_{2}(x - 4)} > 0.$

1) Решим неравенство $ \frac{\lg x}{x-3} > 0 $.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

1. $ \begin{cases} \lg x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} $ или 2. $ \begin{cases} \lg x < 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x > 10^0 \\ x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3 $.

Рассмотрим вторую систему. При решении логарифмического неравенства учтем область определения логарифма ($ x > 0 $):

$ \begin{cases} 0 < x < 10^0 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x < 3 \end{cases} \implies 0 < x < 1 $.

Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ (0; 1) \cup (3; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{3-2x}{\log_5 x} > 0 $.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем с учетом области определения логарифма ($ x > 0 $ и $ \log_5 x \ne 0 \implies x \ne 1 $):

1. $ \begin{cases} 3-2x > 0 \\ \log_5 x > 0 \end{cases} $ или 2. $ \begin{cases} 3-2x < 0 \\ \log_5 x < 0 \end{cases} $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 2x < 3 \\ x > 5^0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1.5 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 1.5 $.

Рассмотрим вторую систему (учитывая ОДЗ $ x>0 $):

$ \begin{cases} 2x > 3 \\ 0 < x < 5^0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ 0 < x < 1 \end{cases} $. Данная система не имеет решений, так как промежутки не пересекаются.

Таким образом, решением является только интервал, полученный из первой системы.

Ответ: $ (1; 1.5) $.

3) Решим неравенство $ \frac{\log_4 x}{x-4} < 0 $.

Неравенство означает, что числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем:

1. $ \begin{cases} \log_4 x > 0 \\ x-4 < 0 \end{cases} $ или 2. $ \begin{cases} \log_4 x < 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x > 4^0 \\ x < 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < 4 \end{cases} \implies 1 < x < 4 $.

Рассмотрим вторую систему (учитывая ОДЗ $ x > 0 $):

$ \begin{cases} 0 < x < 4^0 \\ x > 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x > 4 \end{cases} $. Эта система не имеет решений.

Следовательно, решением неравенства является интервал, полученный из первой системы.

Ответ: $ (1; 4) $.

4) Решим неравенство $ \frac{x+1}{\log_2(x-4)} > 0 $.

Сначала найдем область определения (ОДЗ):

$ \begin{cases} x-4 > 0 \\ \log_2(x-4) \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x-4 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x \ne 5 \end{cases} $.

ОДЗ: $ x \in (4; 5) \cup (5; +\infty) $.

На всей области определения $ x > 4 $, поэтому числитель $ x+1 $ всегда положителен ($ 4+1=5>0 $).

Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен:

$ \log_2(x-4) > 0 $

Представим 0 как логарифм по основанию 2:

$ \log_2(x-4) > \log_2(1) $

Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:

$ x-4 > 1 $

$ x > 5 $

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (5; +\infty) $.