Номер 65, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

65. 1) $f(x) = \log_{0,7} (x^2 - 5x - 6)$;

2) $f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5 x$;

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} (4 - x^2)$;

4) $f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x$.

1) Для функции $f(x) = \log_{0,7}(x^2 - 5x - 6)$ область определения задается условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Составим и решим неравенство:

$x^2 - 5x - 6 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{25 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x - 6 > 0$ выполняется для значений $x$, которые лежат вне интервала между корнями.

Таким образом, область определения функции: $x < -1$ или $x > 6$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5 x$ область определения задается системой условий, так как выражение под каждым из логарифмов должно быть строго положительным:

$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x > 4 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является интервал, где выполняются оба условия одновременно, то есть $x > 4$.

Ответ: $D(f) = (4; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{6}}(4 - x^2)$ область определения задается условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$4 - x^2 > 0$

Решим это неравенство:

$x^2 < 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|x| < 2$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-2 < x < 2$.

Ответ: $D(f) = (-2; 2)$.

4) Для функции $f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x$ область определения задается системой условий (обратите внимание, что $\lg x$ — это десятичный логарифм $\log_{10} x$):

$\begin{cases} \frac{x+8}{x} > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то знаменатель дроби $\frac{x+8}{x}$ положителен. Для того чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы и ее числитель был положителен.

Таким образом, первое неравенство $\frac{x+8}{x} > 0$ при условии $x > 0$ сводится к более простому неравенству $x + 8 > 0$.

Получаем новую, эквивалентную систему:

$\begin{cases} x + 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решаем ее:

$\begin{cases} x > -8 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является интервал $x > 0$.

Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.