Страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

63. 1) $\log_{\frac{1}{4}} \sin2x < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2};$
2) $\log_{13} \sin x + \log_{13} \cos x > \log_{13} \frac{1}{4};$
3) $\log_{0,9} (2\cos4x) > \log_{0,9} \sqrt{3};$
4) $\log_{\frac{1}{5}} \operatorname{tg}x < 0.$

1)Исходное неравенство: $\log_{\frac{1}{4}} \sin(2x) < \log_{\frac{1}{4}} \frac{1}{2}$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\sin(2x) > 0$

Это неравенство выполняется, когда $2x$ находится в I или II координатной четверти:

$2k\pi < 2x < \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Разделив на 2, получаем ОДЗ для $x$:

$k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь решим само неравенство. Основание логарифма $a = \frac{1}{4}$. Поскольку $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\sin(2x) > \frac{1}{2}$

Решим полученное тригонометрическое неравенство. Значения $2x$, для которых $\sin(2x) > \frac{1}{2}$, находятся в интервале:

$\frac{\pi}{6} + 2n\pi < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим все части неравенства на 2:

$\frac{\pi}{12} + n\pi < x < \frac{5\pi}{12} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Данное решение удовлетворяет условию $\sin(2x) > \frac{1}{2}$, из которого автоматически следует, что $\sin(2x) > 0$. Таким образом, найденные интервалы полностью входят в ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{12} + n\pi; \frac{5\pi}{12} + n\pi)$, $n \in \mathbb{Z}$.

2)Исходное неравенство: $\log_{13} \sin x + \log_{13} \cos x > \log_{13} \frac{1}{4}$.

ОДЗ: аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\left\{ \begin{array}{l} \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{array} \right.$

Оба условия выполняются одновременно, когда угол $x$ находится в I координатной четверти:

$2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Используя свойство суммы логарифмов, преобразуем левую часть:

$\log_{13} (\sin x \cdot \cos x) > \log_{13} \frac{1}{4}$

Применим формулу синуса двойного угла: $\sin x \cos x = \frac{1}{2}\sin(2x)$.

$\log_{13} (\frac{1}{2}\sin(2x)) > \log_{13} \frac{1}{4}$

Основание логарифма $a = 13 > 1$, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$\frac{1}{2}\sin(2x) > \frac{1}{4}$

$\sin(2x) > \frac{1}{2}$

Решение этого тригонометрического неравенства:

$\frac{\pi}{6} + 2n\pi < 2x < \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$\frac{\pi}{12} + n\pi < x < \frac{5\pi}{12} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ $2k\pi < x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$.

Рассмотрим пересечение полученного решения с ОДЗ.

Если $n=2k$ (четное), то интервал $(\frac{\pi}{12} + 2k\pi; \frac{5\pi}{12} + 2k\pi)$ полностью содержится в интервале ОДЗ $(2k\pi; \frac{\pi}{2} + 2k\pi)$.

Если $n=2k+1$ (нечетное), то интервал $(\frac{\pi}{12} + (2k+1)\pi; \frac{5\pi}{12} + (2k+1)\pi)$ соответствует III четверти, где $\sin x < 0$ и $\cos x < 0$, что не удовлетворяет ОДЗ.

Следовательно, подходят только решения при четных $n=2k$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{12} + 2k\pi; \frac{5\pi}{12} + 2k\pi)$, $k \in \mathbb{Z}$.

3)Исходное неравенство: $\log_{0.9} (2\cos(4x)) > \log_{0.9} \sqrt{3}$.

ОДЗ: $2\cos(4x) > 0 \implies \cos(4x) > 0$.

$-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Основание логарифма $a = 0.9$, так как $0 < a < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$2\cos(4x) < \sqrt{3}$

$\cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Объединяя это условие с ОДЗ, получаем систему неравенств:

$\left\{ \begin{array}{l} \cos(4x) > 0 \\ \cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2} \end{array} \right.$

что эквивалентно двойному неравенству $0 < \cos(4x) < \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решим это неравенство для аргумента $u = 4x$. На единичной окружности косинус принимает значения в интервале $(0, \frac{\sqrt{3}}{2})$ для углов из двух интервалов за один оборот:

1) $\frac{\pi}{6} + 2k\pi < u < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$

2) $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < u < -\frac{\pi}{6} + 2k\pi$

Выполним обратную замену $u=4x$ и найдем $x$:

1) $\frac{\pi}{6} + 2k\pi < 4x < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2} < x < \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}$

2) $-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < 4x < -\frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}$

Решением является объединение этих двух семейств интервалов.

Ответ: $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left( (-\frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}; -\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}) \cup (\frac{\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}; \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}) \right)$.

4)Исходное неравенство: $\log_{\frac{4}{5}} \tan x < 0$.

ОДЗ: $\tan x > 0$.

Тангенс положителен в I и III координатных четвертях:

$k\pi < x < \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Представим правую часть неравенства в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{4}{5}} 1$.

$\log_{\frac{4}{5}} \tan x < \log_{\frac{4}{5}} 1$

Основание логарифма $a = \frac{4}{5}$, так как $0 < a < 1$, функция убывающая, поэтому меняем знак неравенства:

$\tan x > 1$

Решим тригонометрическое неравенство. Функция $\tan x$ возрастает на каждом интервале своей области определения. $\tan x = 1$ при $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$.

Следовательно, неравенство $\tan x > 1$ выполняется при:

$\frac{\pi}{4} + n\pi < x < \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Условие $\tan x > 1$ является более строгим, чем условие ОДЗ $\tan x > 0$. Поэтому найденное решение автоматически удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{4} + n\pi; \frac{\pi}{2} + n\pi)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Найдите области определения функции $y = f(x)$ (64-65):

64.

1) $f(x) = 5 - \sqrt{x + 4}$;

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4 - x}$;

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x + 1)$;

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$.

1) $f(x) = 5 - \sqrt{x+4}$

Область определения функции (ОДЗ) для выражения с квадратным корнем задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть больше или равно нулю.

Для данной функции это условие выглядит так:

$x + 4 \ge 0$

Чтобы решить это неравенство, вычтем 4 из обеих его частей:

$x \ge -4$

Это означает, что функция определена для всех значений $x$, которые больше или равны -4.

Ответ: $D(f) = [-4; +\infty)$.

2) $f(x) = 8 - \sqrt{4-x}$

Аналогично первому пункту, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.

Составляем и решаем неравенство:

$4 - x \ge 0$

Перенесем $x$ в правую часть неравенства (или прибавим $x$ к обеим частям):

$4 \ge x$

Это неравенство можно записать как $x \le 4$. Таким образом, функция определена для всех значений $x$, которые меньше или равны 4.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 4]$.

3) $f(x) = \sqrt{x} - \log_2(x+1)$

Эта функция содержит две части, накладывающие ограничения на область определения: квадратный корень и логарифм. Область определения функции будет пересечением областей определения для каждой из этих частей.

1. Для квадратного корня $\sqrt{x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Для логарифма $\log_2(x+1)$ выражение под знаком логарифма (аргумент) должно быть строго положительным: $x + 1 > 0$.

Решим второе неравенство: $x > -1$.

Теперь найдем пересечение двух условий, то есть решим систему неравенств:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ x > -1 \end{cases}$

Общим решением для этой системы является более сильное неравенство $x \ge 0$.

Ответ: $D(f) = [0; +\infty)$.

4) $f(x) = 6x + \log_7(x^2 - 1)$

Слагаемое $6x$ определено для любого действительного числа $x$. Ограничение на область определения вносит логарифмическая функция.

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 1 > 0$

Это квадратичное неравенство. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$(x - 1)(x + 1) > 0$

Для решения этого неравенства используем метод интервалов. Найдем корни уравнения $(x-1)(x+1) = 0$. Корнями являются $x = 1$ и $x = -1$. Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1)$ и $(1; +\infty)$.

Определим знак произведения $(x-1)(x+1)$ в каждом интервале:

- на интервале $(-\infty; -1)$ (например, при $x = -2$): $(-2-1)(-2+1) = (-3)(-1) = 3 > 0$. Интервал подходит.

- на интервале $(-1; 1)$ (например, при $x = 0$): $(0-1)(0+1) = (-1)(1) = -1 < 0$. Интервал не подходит.

- на интервале $(1; +\infty)$ (например, при $x = 2$): $(2-1)(2+1) = (1)(3) = 3 > 0$. Интервал подходит.

Таким образом, решением неравенства является объединение двух интервалов.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

65. 1) $f(x) = \log_{0,7} (x^2 - 5x - 6)$;

2) $f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5 x$;

3) $f(x) = \log_{\frac{1}{6}} (4 - x^2)$;

4) $f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x$.

1) Для функции $f(x) = \log_{0,7}(x^2 - 5x - 6)$ область определения задается условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным. Составим и решим неравенство:

$x^2 - 5x - 6 > 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 6 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, получаем:

$x_1 = \frac{5 - \sqrt{25 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = -1$

$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = 6$

Так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 6$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 5x - 6 > 0$ выполняется для значений $x$, которые лежат вне интервала между корнями.

Таким образом, область определения функции: $x < -1$ или $x > 6$.

Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (6; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_5(x - 4) + \log_5 x$ область определения задается системой условий, так как выражение под каждым из логарифмов должно быть строго положительным:

$\begin{cases} x - 4 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решим эту систему:

$\begin{cases} x > 4 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является интервал, где выполняются оба условия одновременно, то есть $x > 4$.

Ответ: $D(f) = (4; +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{6}}(4 - x^2)$ область определения задается условием, что выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$4 - x^2 > 0$

Решим это неравенство:

$x^2 < 4$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:

$|x| < 2$

Это неравенство равносильно двойному неравенству $-2 < x < 2$.

Ответ: $D(f) = (-2; 2)$.

4) Для функции $f(x) = \log_7 \frac{x+8}{x} + \lg x$ область определения задается системой условий (обратите внимание, что $\lg x$ — это десятичный логарифм $\log_{10} x$):

$\begin{cases} \frac{x+8}{x} > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе неравенство: $x > 0$. Если $x$ — положительное число, то знаменатель дроби $\frac{x+8}{x}$ положителен. Для того чтобы вся дробь была положительной, необходимо, чтобы и ее числитель был положителен.

Таким образом, первое неравенство $\frac{x+8}{x} > 0$ при условии $x > 0$ сводится к более простому неравенству $x + 8 > 0$.

Получаем новую, эквивалентную систему:

$\begin{cases} x + 8 > 0 \\ x > 0 \end{cases}$

Решаем ее:

$\begin{cases} x > -8 \\ x > 0 \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является интервал $x > 0$.

Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

Найдите множества значений функции $y = f(x)$ (66—67):

66. 1) $f(x) = 2 + \sqrt{x}$; 2) $f(x) = -3 + \sqrt{x}$;

3) $f(x) = 2^x + 2$; 4) $f(x) = 3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

1) Для функции $f(x) = 2 + \sqrt{x}$. Множество значений для базовой функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Это можно записать в виде неравенства: $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем 2 к каждой части этого неравенства: $\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2$, что дает нам $f(x) \ge 2$. Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные 2. Ответ: $E(f) = [2, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = -3 + \sqrt{x}$. Аналогично первому пункту, мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем -3 (или вычитаем 3) к каждой части неравенства: $\sqrt{x} - 3 \ge 0 - 3$, что приводит к $f(x) \ge -3$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, большие или равные -3. Ответ: $E(f) = [-3, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = 2^x + 2$. Множество значений для показательной функции $y = 2^x$ — это все строго положительные числа, поскольку основание степени больше 1. Это выражается неравенством $2^x > 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем 2 к обеим частям этого неравенства: $2^x + 2 > 0 + 2$, что дает нам $f(x) > 2$. Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго большие 2. Ответ: $E(f) = (2, +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = 3 + (\frac{1}{3})^x$. Показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$ также принимает только строго положительные значения, независимо от значения $x$, так как основание степени положительно. То есть, $(\frac{1}{3})^x > 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем 3 к обеим частям этого неравенства: $(\frac{1}{3})^x + 3 > 0 + 3$, что приводит к $f(x) > 3$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие 3. Ответ: $E(f) = (3, +\infty)$.

67. 1) $f(x) = 5^{x+1} - 4;$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - x);$

3) $f(x) = \log_{2}(x - 5);$

4) $f(x) = \log_{5}(7 - x).$

1) Областью определения функции $f(x) = 5^{x + 1} - 4$ является множество всех действительных чисел. Показательная функция $a^u$ (где $a > 0$, $a \ne 1$) определена для всех значений показателя $u$, для которых он имеет смысл. В данном случае показатель степени $x + 1$ определён для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения функции - это все действительные числа.

Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(3 - x)$ область определения находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. Аргументом является выражение $3 - x$. Составим и решим неравенство:

$3 - x > 0$

$-x > -3$

$x < 3$

Таким образом, область определения функции - это все числа, меньшие 3.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 3)$.

3) Область определения логарифмической функции $f(x) = \log_2(x - 5)$ задается условием положительности ее аргумента. Аргумент в данном случае равен $x - 5$. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x - 5 > 0$

$x > 5$

Следовательно, область определения функции состоит из всех чисел, которые строго больше 5.

Ответ: $D(f) = (5; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = \log_5(7 - x)$ область определения также находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положительным. Аргумент логарифма - это выражение $7 - x$. Решим неравенство:

$7 - x > 0$

$-x > -7$

$x < 7$

Значит, область определения функции - это все числа, меньшие 7.

Ответ: $D(f) = (-\infty; 7)$.

Постройте график функции $y = f(x)$, используя программу "Живая геометрия", и перечислите ее свойства (68—69):

68. 1) $f(x) = \sqrt{x} + 1;$

2) $f(x) = 3^x + 3;$

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1;$

4) $f(x) = |2^x + 2 - 5|.$

1) $f(x) = \sqrt{x+1}$

График функции $y = \sqrt{x+1}$ можно получить из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем сдвига влево вдоль оси Ox на 1 единицу. Точка начала графика смещается из (0,0) в (-1,0).

Свойства функции:

1. Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$. Таким образом, $D(f) = [-1; +\infty)$.

2. Область значений: так как арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения, $y \ge 0$. Таким образом, $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x) = 0 \implies \sqrt{x+1} = 0 \implies x+1=0 \implies x=-1$.

4. Четность: область определения $D(f) = [-1; +\infty)$ несимметрична относительно начала координат, следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

5. Монотонность: функция является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $[-1; +\infty)$.

6. Экстремумы: функция имеет точку минимума при $x=-1$. Минимальное значение функции $y_{min} = f(-1) = 0$. Максимального значения нет.

7. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ при $x \in (-1; +\infty)$.

8. Асимптоты: асимптот нет.

Ответ: График функции – ветвь параболы, выходящая из точки $(-1, 0)$ и идущая вправо вверх. Свойства: $D(f)=[-1; +\infty)$; $E(f)=[0; +\infty)$; возрастает на $[-1; +\infty)$; $y_{min}=0$ при $x=-1$; нуль функции $x=-1$; функция общего вида.

2) $f(x) = 3^x + 3$

График функции $y = 3^x + 3$ можно получить из графика базовой показательной функции $y = 3^x$ путем сдвига вверх вдоль оси Oy на 3 единицы. Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y = 3^x$ смещается в $y=3$.

Свойства функции:

1. Область определения: показательная функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $3^x+3 > 3$. Таким образом, $E(f) = (3; +\infty)$.

3. Нули функции: решим уравнение $3^x + 3 = 0 \implies 3^x = -3$. Уравнение не имеет действительных решений, следовательно, нулей у функции нет.

4. Четность: $f(-x) = 3^{-x}+3 = \frac{1}{3^x} + 3$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция является функцией общего вида.

5. Монотонность: так как основание степени $3>1$, функция $y=3^x$ является строго возрастающей. Следовательно, функция $f(x) = 3^x + 3$ также строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

6. Экстремумы: экстремумов нет.

7. Промежутки знакопостоянства: так как область значений $E(f) = (3; +\infty)$, функция принимает только положительные значения, $f(x)>0$ при всех $x \in \mathbb{R}$.

8. Асимптоты: при $x \to -\infty$, $3^x \to 0$, следовательно $f(x) \to 3$. Прямая $y=3$ — горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции – экспонента, смещенная на 3 единицы вверх. Свойства: $D(f)=\mathbb{R}$; $E(f)=(3; +\infty)$; строго возрастает на $\mathbb{R}$; нулей и экстремумов нет; $f(x)>0$ на всей области определения; горизонтальная асимптота $y=3$.

3) $f(x) = 4^{x-1} - 1$

График функции $y = 4^{x-1} - 1$ можно получить из графика базовой показательной функции $y = 4^x$ путем сдвига на 1 единицу вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вниз вдоль оси Oy. Горизонтальная асимптота $y=0$ для графика $y = 4^x$ смещается в $y=-1$.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Область значений: так как $4^{x-1} > 0$, то $4^{x-1}-1 > -1$. Таким образом, $E(f) = (-1; +\infty)$.

3. Нули функции: $4^{x-1} - 1 = 0 \implies 4^{x-1} = 1 \implies 4^{x-1} = 4^0 \implies x-1=0 \implies x=1$.

4. Четность: $f(-x) = 4^{-x-1}-1$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция общего вида.

5. Монотонность: так как основание степени $4>1$, функция строго возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.

6. Экстремумы: экстремумов нет.

7. Промежутки знакопостоянства: $f(x)>0$ при $4^{x-1} - 1 > 0 \implies 4^{x-1} > 1 \implies x-1 > 0 \implies x > 1$. $f(x)<0$ при $x < 1$.

8. Асимптоты: при $x \to -\infty$, $x-1 \to -\infty$, $4^{x-1} \to 0$, следовательно $f(x) \to -1$. Прямая $y=-1$ — горизонтальная асимптота.

Ответ: График функции – экспонента, смещенная на 1 вправо и 1 вниз. Свойства: $D(f)=\mathbb{R}$; $E(f)=(-1; +\infty)$; строго возрастает на $\mathbb{R}$; нуль функции $x=1$; $f(x)>0$ при $x \in (1; +\infty)$, $f(x)<0$ при $x \in (-\infty; 1)$; горизонтальная асимптота $y=-1$.

4) $f(x) = |2^{x+2} - 5|$

Построение графика функции $y = |2^{x+2} - 5|$ выполняется в два этапа:

1. Строим график вспомогательной функции $g(x) = 2^{x+2} - 5$. Это график функции $y=2^x$, сдвинутый на 2 единицы влево по оси Ox и на 5 единиц вниз по оси Oy. Горизонтальная асимптота этого графика $y=-5$.

2. Для получения графика $f(x)$ часть графика $g(x)$, которая лежит ниже оси Ox, симметрично отражается относительно оси Ox. Часть графика, которая лежит выше или на оси Ox, остается без изменений.

Свойства функции:

1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $D(f)=\mathbb{R}$.

2. Область значений: так как функция является модулем, ее значения неотрицательны. $E(f) = [0; +\infty)$.

3. Нули функции: $f(x) = 0 \iff 2^{x+2} - 5 = 0 \iff 2^{x+2} = 5 \iff x+2 = \log_2 5 \iff x = \log_2 5 - 2$.

4. Четность: $f(-x) = |2^{-x+2}-5|$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция общего вида.

5. Монотонность: функция убывает, когда $2^{x+2}-5 < 0$, то есть при $x < \log_2 5 - 2$. Функция возрастает, когда $2^{x+2}-5 > 0$, то есть при $x > \log_2 5 - 2$. Итак, функция убывает на $(-\infty; \log_2 5 - 2]$ и возрастает на $[\log_2 5 - 2; +\infty)$.

6. Экстремумы: в точке $x = \log_2 5 - 2$ функция достигает своего минимума. $y_{min} = 0$. Максимального значения нет.

7. Промежутки знакопостоянства: $f(x) > 0$ для всех $x \ne \log_2 5 - 2$. $f(x)=0$ при $x = \log_2 5 - 2$.

8. Асимптоты: при $x \to -\infty$, $2^{x+2} \to 0$, тогда $f(x) \to |0-5|=5$. Следовательно, $y=5$ — горизонтальная асимптота при $x \to -\infty$.

Ответ: График функции получается из графика $y=2^{x+2}-5$ отражением его отрицательной части относительно оси Ox. Свойства: $D(f)=\mathbb{R}$; $E(f)=[0; +\infty)$; убывает на $(-\infty; \log_2 5 - 2]$, возрастает на $[\log_2 5 - 2; +\infty)$; точка минимума $(\log_2 5 - 2, 0)$; нуль функции $x = \log_2 5 - 2$; горизонтальная асимптота $y=5$ при $x \to -\infty$.

69. 1) $f(x) = \log_{5} (x + 1);$

2) $f(x) = 3 + \log_{\frac{1}{5}} (x - 1);$

3) $f(x) = \log_{6} x - 2;$

4) $f(x) = 3 + \log_{2} (x + 2).$

1) Область определения функции $f(x) = \log_5(x + 1)$ задается условием, что выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть строго положительным.

Составим и решим соответствующее неравенство:

$x + 1 > 0$

$x > -1$

Таким образом, область определения функции представляет собой все действительные числа, большие -1.

Ответ: $D(f) = (-1; +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = 3 + \log_{\frac{1}{5}}(x - 1)$ область определения зависит только от логарифмического слагаемого. Аргумент логарифма должен быть больше нуля.

Составим и решим неравенство:

$x - 1 > 0$

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это интервал от 1 до плюс бесконечности, не включая 1.

Ответ: $D(f) = (1; +\infty)$.

3) Область определения функции $f(x) = \log_6 x - 2$ определяется условием положительности выражения под знаком логарифма. Свободный член (-2) на область определения не влияет.

Решим неравенство:

$x > 0$

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа.

Ответ: $D(f) = (0; +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = 3 + \log_2(x + 2)$ область определения находится из условия, что аргумент логарифма должен быть строго положителен.

Составим и решим неравенство:

$x + 2 > 0$

$x > -2$

Таким образом, область определения функции — это интервал от -2 до плюс бесконечности, не включая -2.

Ответ: $D(f) = (-2; +\infty)$.

Найдите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$ (70–71):

70. 1) $f(x) = \sqrt{x-1}$; 2) $f(x) = 3\sqrt{x}$;

3) $f(x) = 3^x - 3$; 4) $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1$.

1) Для того чтобы найти промежутки знакопостоянства функции $f(x) = \sqrt{x} - 1$, сначала определим ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \geq 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

Далее, найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$\sqrt{x} - 1 = 0$

$\sqrt{x} = 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 1$.

Точка $x=1$ разбивает область определения $[0, +\infty)$ на два промежутка: $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке.

- Для промежутка $[0, 1)$, выберем пробную точку, например, $x=0.25$. $f(0.25) = \sqrt{0.25} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5$. Так как значение отрицательное, то $f(x) < 0$ на всем промежутке $[0, 1)$.

- Для промежутка $(1, +\infty)$, выберем пробную точку, например, $x=4$. $f(4) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Так как значение положительное, то $f(x) > 0$ на всем промежутке $(1, +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in [0, 1)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sqrt{x}$.

Область определения функции, как и в предыдущем случае, $x \geq 0$, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.

Найдем нули функции:

$3\sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x} = 0$

$x = 0$.

Нуль функции $x=0$ является крайней точкой области определения.

Рассмотрим знак функции на промежутке $(0, +\infty)$. Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ является положительным числом. Произведение положительного числа 3 на положительное число $\sqrt{x}$ всегда будет положительным.

Следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $(0, +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - 3$.

Область определения показательной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$3^x - 3 = 0$

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$.

Точка $x=1$ разбивает числовую прямую на два промежутка: $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак функции на каждом из них.

- На промежутке $(-\infty, 1)$, возьмем $x=0$. $f(0) = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 < 0$. Следовательно, $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 1)$.

- На промежутке $(1, +\infty)$, возьмем $x=2$. $f(2) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6 > 0$. Следовательно, $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 1)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1$.

Область определения показательной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Попытаемся найти нули функции:

$\left(\frac{1}{7}\right)^x + 1 = 0$

$\left(\frac{1}{7}\right)^x = -1$.

Данное уравнение не имеет решений, так как показательная функция $a^x$ (где $a>0$, $a\neq1$) всегда принимает только положительные значения. То есть, $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$ для любого $x$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой и не имеет нулей, она сохраняет свой знак на всей области определения.

Для любого действительного $x$ имеем $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$, следовательно, $\left(\frac{1}{7}\right)^x + 1 > 1 > 0$.

Таким образом, функция положительна на всей своей области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.

71. 1) $f(x) = \log_5(x - 1);$

2) $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(2 + x);$

3) $f(x) = |\log_4 x|;$

4) $f(x) = |5^x - 5|.$

1) Чтобы найти область определения функции $f(x) = \log_5(x - 1)$, необходимо учесть, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положительным. В данном случае аргументом является выражение $(x - 1)$.

Следовательно, мы должны решить неравенство:

$x - 1 > 0$

Прибавив 1 к обеим частям неравенства, получаем:

$x > 1$

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, которые больше 1. В виде интервала это записывается как $(1, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (1, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = \log_{\frac{1}{3}}(2 + x)$ область определения также находится из условия, что аргумент логарифма должен быть больше нуля. Аргументом является $(2 + x)$.

Составим и решим неравенство:

$2 + x > 0$

Вычтем 2 из обеих частей неравенства:

$x > -2$

Область определения функции — это все значения $x$, которые больше -2. В виде интервала это записывается как $(-2, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (-2, +\infty)$.

3) Функция $f(x) = |\log_4 x|$ является модулем логарифмической функции. Функция модуля определена для любого действительного значения своего аргумента. Следовательно, область определения функции $f(x)$ совпадает с областью определения внутренней функции $g(x) = \log_4 x$.

Аргумент логарифма $x$ должен быть строго положительным.

$x > 0$

Таким образом, область определения функции — это все положительные действительные числа. В виде интервала это записывается как $(0, +\infty)$.

Ответ: $D(f) = (0, +\infty)$.

4) Функция $f(x) = |5^x - 5|$ представляет собой модуль разности показательной функции и константы.

Рассмотрим внутреннюю функцию $g(x) = 5^x - 5$. Показательная функция $y = 5^x$ определена для всех действительных чисел $x \in \mathbb{R}$. Вычитание константы 5 не изменяет область определения.

Функция модуля определена для любого действительного значения своего аргумента.

Следовательно, область определения всей функции $f(x)$ — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

72. Найдите промежутки возрастания и убывания функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = xe^{3x}$;

2) $f(x) = 3x \cdot e^x$;

3) $f(x) = x^2 e^x$;

4) $f(x) = x \cdot e^{2x}$.

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $y=f(x)$ необходимо исследовать знак ее производной $f'(x)$. Если $f'(x) > 0$ на некотором интервале, то функция на этом интервале возрастает. Если $f'(x) < 0$, то функция убывает.

1) Дана производная функции: $f'(x) = xe^{3x}$.

Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует. В данном случае производная определена для всех $x$.$f'(x) = 0 \implies xe^{3x} = 0$.Так как $e^{3x} > 0$ для любого действительного числа $x$, то уравнение равносильно $x = 0$.Точка $x = 0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.Определим знак производной на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, 0)$, например $x=-1$, имеем $f'(-1) = -1 \cdot e^{-3} = -1/e^3 < 0$. Значит, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• При $x \in (0, +\infty)$, например $x=1$, имеем $f'(1) = 1 \cdot e^{3} > 0$. Значит, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.

2) Дана функция: $f(x) = 3x \cdot e^x$.

Сначала найдем ее производную, используя правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$:$f'(x) = (3x)' \cdot e^x + 3x \cdot (e^x)' = 3e^x + 3xe^x = 3e^x(1+x)$.Теперь найдем критические точки, решив уравнение $f'(x)=0$:$3e^x(1+x) = 0$.Так как $3e^x > 0$ для любого $x$, то $1+x = 0$, откуда $x = -1$.Точка $x = -1$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$.Определим знак производной на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$, имеем $f'(-2) = 3e^{-2}(1-2) = -3e^{-2} < 0$. Значит, функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.
• При $x \in (-1, +\infty)$, например $x=0$, имеем $f'(0) = 3e^{0}(1+0) = 3 > 0$. Значит, функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-1, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -1]$.

3) Дана производная функции: $f'(x) = x^2 e^x$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$:$x^2 e^x = 0$.Так как $e^x > 0$ для любого $x$, то $x^2 = 0$, откуда $x=0$.Рассмотрим знак производной. Множитель $e^x$ всегда положителен. Множитель $x^2$ всегда неотрицателен ($x^2 \ge 0$) и равен нулю только при $x=0$.Следовательно, $f'(x) = x^2 e^x \ge 0$ для всех действительных $x$.Поскольку производная функции неотрицательна на всей числовой прямой и обращается в ноль лишь в одной точке, функция $f(x)$ возрастает на всей своей области определения.

Ответ: функция возрастает на всем промежутке $(-\infty, +\infty)$.

4) Дана производная функции: $f'(x) = x \cdot e^{-2x}$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x)=0$:$x \cdot e^{-2x} = 0$.Так как $e^{-2x} > 0$ для любого $x$, то уравнение равносильно $x=0$.Точка $x = 0$ разбивает числовую прямую на два интервала: $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$.Знак производной $f'(x)$ определяется знаком множителя $x$.

• При $x \in (-\infty, 0)$, имеем $x < 0$, следовательно $f'(x) < 0$. Функция $f(x)$ убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• При $x \in (0, +\infty)$, имеем $x > 0$, следовательно $f'(x) > 0$. Функция $f(x)$ возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.