Страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

80. 1) $y = x^2 + 3x + 6$, $y = 6$;

2) $y = 5x + x^2 + 2$, $y = 2$;

3) $y = 5 + 4x - x^2$, $y = x + 1$;

4) $y = 4 - x^2$, $y = x^2 - 2x$.

1) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 3x + 6$ и $y = 6$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения координаты $x$ и $y$ у них совпадают.

$x^2 + 3x + 6 = 6$

Перенесем 6 в левую часть уравнения:

$x^2 + 3x + 6 - 6 = 0$

$x^2 + 3x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x + 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x + 3 = 0 \Rightarrow x_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения $y$. Так как одна из функций задана уравнением $y=6$, то ординаты точек пересечения будут равны 6.

Таким образом, мы получили две точки пересечения.

Ответ: $(0, 6)$, $(-3, 6)$.

2) Для нахождения точек пересечения графиков функций $y = 5x + x^2 + 2$ и $y = 2$ приравняем их правые части. Запишем первое уравнение в стандартном виде $y = x^2 + 5x + 2$.

$x^2 + 5x + 2 = 2$

Перенесем 2 в левую часть:

$x^2 + 5x + 2 - 2 = 0$

$x^2 + 5x = 0$

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x + 5) = 0$

Отсюда находим абсциссы точек пересечения:

$x_1 = 0$

$x + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -5$

Ордината точек пересечения задана вторым уравнением: $y = 2$.

Следовательно, точки пересечения имеют координаты.

Ответ: $(0, 2)$, $(-5, 2)$.

3) Найдем точки пересечения графиков функций $y = 5 + 4x - x^2$ и $y = x + 1$. Приравняем правые части уравнений.

$5 + 4x - x^2 = x + 1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-x^2 + 4x - x + 5 - 1 = 0$

$-x^2 + 3x + 4 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -4, а их сумма равна 3. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в более простое уравнение $y = x + 1$.

При $x_1 = 4$:

$y_1 = 4 + 1 = 5$

Первая точка пересечения: $(4, 5)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = -1 + 1 = 0$

Вторая точка пересечения: $(-1, 0)$.

Ответ: $(4, 5)$, $(-1, 0)$.

4) Найдем точки пересечения графиков функций $y = 4 - x^2$ и $y = x^2 - 2x$. Приравняем их правые части.

$4 - x^2 = x^2 - 2x$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы собрать квадратное уравнение:

$0 = x^2 + x^2 - 2x - 4$

$2x^2 - 2x - 4 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -2, а сумма равна 1. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Возьмем $y = 4 - x^2$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 4 - (2)^2 = 4 - 4 = 0$

Первая точка пересечения: $(2, 0)$.

При $x_2 = -1$:

$y_2 = 4 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3$

Вторая точка пересечения: $(-1, 3)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(-1, 3)$.

81. 1) $y = \frac{3}{x}$, $y = 1$, $x = 1$;
2) $y = \frac{5}{x}$, $x + y = 6$;
3) $y = \frac{2}{x}$, $x + y = 3$;
4) $y = \frac{7}{x}$, $y = -1$, $x = -1$.

1) Для нахождения точек пересечения необходимо найти общие точки для графиков заданных функций. Предположим, что требуется найти точки пересечения гиперболы $y = \frac{3}{x}$ с каждой из прямых $y=1$ и $x=1$ по отдельности.

Найдем точку пересечения графиков $y = \frac{3}{x}$ и $y = 1$.

Для этого приравняем правые части уравнений:

$\frac{3}{x} = 1$

Отсюда получаем $x = 3$.

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты $(3; 1)$.

Теперь найдем точку пересечения графиков $y = \frac{3}{x}$ и $x = 1$.

Подставим значение $x = 1$ в уравнение гиперболы:

$y = \frac{3}{1} = 3$

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты $(1; 3)$.

Ответ: $(3; 1)$ и $(1; 3)$.

2) Для нахождения точек пересечения графиков решим систему уравнений:

$y = \frac{5}{x}$

$x + y = 6$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$6 - x = \frac{5}{x}$

Умножим обе части уравнения на $x$ (при условии, что $x \neq 0$, что следует из первого уравнения):

$x(6 - x) = 5$

$6x - x^2 = 5$

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $x_2 = 5$, то $y_2 = 6 - 5 = 1$.

Таким образом, точки пересечения графиков: $(1; 5)$ и $(5; 1)$.

Ответ: $(1; 5)$, $(5; 1)$.

3) Для нахождения точек пересечения графиков решим систему уравнений:

$y = \frac{2}{x}$

$x + y = 3$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3 - x = \frac{2}{x}$

Умножим обе части на $x$ (при $x \neq 0$):

$x(3 - x) = 2$

$3x - x^2 = 2$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$x^2 - 3x + 2 = 0$

Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, произведение равно 2. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 - 1 = 2$.

Если $x_2 = 2$, то $y_2 = 3 - 2 = 1$.

Точки пересечения графиков: $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Ответ: $(1; 2)$, $(2; 1)$.

4) Найдем точки пересечения графика функции $y = \frac{7}{x}$ с прямыми $y = -1$ и $x = -1$. Решим две независимые системы уравнений.

Первая система: $y = \frac{7}{x}$ и $y = -1$.

Приравниваем выражения для $y$:

$\frac{7}{x} = -1$

Отсюда $x = -7$.

Точка пересечения: $(-7; -1)$.

Вторая система: $y = \frac{7}{x}$ и $x = -1$.

Подставляем $x = -1$ в уравнение гиперболы:

$y = \frac{7}{-1} = -7$

Точка пересечения: $(-1; -7)$.

Ответ: $(-7; -1)$, $(-1; -7)$.

Решите уравнения графическим способом (82–83):

82. 1) $3^x = x - 2;$

2) $\log_4 x = 2 - x;$

3) $(0,2)^x - x^2 = 0;$

4) $\log_{\frac{1}{5}} x = x^2 - 1.$

1) Чтобы решить уравнение $3^x = x - 2$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^x$ и $y_2 = x - 2$.

Функция $y_1 = 3^x$ — это показательная функция, она возрастает на всей числовой оси. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и расположен в верхней полуплоскости ($y > 0$ при любом $x$).

Функция $y_2 = x - 2$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

При $x \le 2$ значения функции $y_2 = x - 2$ неположительны ($y_2 \le 0$), в то время как значения функции $y_1 = 3^x$ всегда положительны. Следовательно, на этом промежутке пересечений нет.

При $x > 2$ обе функции положительны и возрастают. Однако показательная функция $y_1 = 3^x$ растет значительно быстрее линейной функции $y_2 = x - 2$. Например, в точке $x=1$ имеем $y_1(1)=3$, а $y_2(1)=-1$. В точке $x=2$ имеем $y_1(2)=9$, а $y_2(2)=0$. График функции $y_1 = 3^x$ всегда находится "выше" графика функции $y_2 = x - 2$.

Таким образом, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет решений.

2) Для решения уравнения $\log_4 x = 2 - x$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_4 x$ и $y_2 = 2 - x$.

Функция $y_1 = \log_4 x$ — это логарифмическая функция. Её область определения $x > 0$. Функция возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(1, 0)$ и $(4, 1)$.

Функция $y_2 = 2 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Функция убывает на всей числовой оси. График проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Возрастающая функция и убывающая функция могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы найти эту точку, сравним значения функций в некоторых точках.При $x = 1$: $y_1(1) = \log_4 1 = 0$, $y_2(1) = 2 - 1 = 1$. Здесь $y_1 < y_2$.При $x = 2$: $y_1(2) = \log_4 2 = 1/2 = 0.5$, $y_2(2) = 2 - 2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.Поскольку на отрезке $[1, 2]$ обе функции непрерывны и в точке $x=1$ график логарифма находится ниже прямой, а в точке $x=2$ — выше, то где-то между 1 и 2 графики должны пересечься.Так как точка пересечения может быть только одна, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

3) Преобразуем уравнение $(0,2)^x - x^2 = 0$ к виду $(0,2)^x = x^2$. Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (0,2)^x$ и $y_2 = x^2$.

Функция $y_1 = (0,2)^x$ — это показательная функция с основанием $0,2 < 1$, она убывает на всей числовой оси. График проходит через точку $(0, 1)$ и $(-1, 5)$.

Функция $y_2 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Рассмотрим поведение функций на разных промежутках:

При $x \le 0$: функция $y_1 = (0,2)^x$ возрастает (если двигаться справа налево, от 0 к $-\infty$), а функция $y_2 = x^2$ убывает. В точке $x=0$ имеем $y_1(0)=1$, а $y_2(0)=0$. При $x<0$ значения показательной функции $(0,2)^x$ растут гораздо быстрее, чем значения $x^2$. Например, при $x=-1$, $y_1(-1)=5$, а $y_2(-1)=1$. Графики на этом промежутке не пересекаются.

При $x > 0$: функция $y_1 = (0,2)^x$ убывает, а функция $y_2 = x^2$ возрастает. В точке $x=0$ график $y_1$ "стартует" с высоты 1, а график $y_2$ с высоты 0. При $x=1$ имеем $y_1(1)=0,2$, а $y_2(1)=1$. Так как на промежутке $(0,1)$ одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их относительное положение меняется, они должны пересечься ровно один раз.

Следовательно, графики функций имеют только одну точку пересечения.

Ответ: уравнение имеет один корень.

4) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{5}} x = x^2 - 1$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{5}} x$ и $y_2 = x^2 - 1$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{5}} x$ — это логарифмическая функция. Область определения $x > 0$. Так как основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, функция является убывающей. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = x^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями вверх. На области определения $x > 0$ эта функция является возрастающей. Её график также проходит через точку $(1, 0)$.

Поскольку на всей области определения $x>0$ одна функция является строго убывающей, а другая — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения.

Проверим точку $x=1$:

$y_1(1) = \log_{\frac{1}{5}} 1 = 0$.

$y_2(1) = 1^2 - 1 = 0$.

Значения функций совпадают, значит, их графики пересекаются в точке $(1, 0)$. Так как это единственно возможная точка пересечения, $x=1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=1$.

83. 1) $5^x = x^2 + 1;$

2) $\log_2 x = 2^x;$

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1;$

4) $\log_{\frac{1}{6}} x = \sqrt{x} - 1.$

1) $5^x = x^2 + 1$

Данное уравнение является трансцендентным, и его решение обычно ищут графическим или аналитическим методом, исследуя свойства функций. Рассмотрим две функции: $y_1 = 5^x$ и $y_2 = x^2 + 1$.

Функция $y_1 = 5^x$ — показательная, строго возрастающая на всей числовой оси. Ее значения всегда положительны.

Функция $y_2 = x^2 + 1$ — квадратичная, ее график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 1)$. Минимальное значение этой функции равно 1 при $x=0$.

Попробуем найти решение методом подбора, проверяя целые числа. Пусть $x=0$.

Левая часть: $5^0 = 1$.

Правая часть: $0^2 + 1 = 1$.

Поскольку $1 = 1$, $x=0$ является корнем уравнения.

Теперь докажем, что других корней нет.

При $x > 0$: показательная функция $5^x$ растет гораздо быстрее, чем квадратичная функция $x^2+1$. В точке $x=0$ их значения равны. Рассмотрим их производные: $y_1' = 5^x \ln 5$ и $y_2' = 2x$. При $x=0$, $y_1'(0) = \ln 5 > 0$, а $y_2'(0) = 0$. Это означает, что при переходе через $x=0$ в положительную сторону, функция $y_1$ начинает расти быстрее, чем $y_2$, поэтому их графики больше не пересекутся. Для $x>0$ будет выполняться неравенство $5^x > x^2 + 1$.

При $x < 0$: значения функции $y_1 = 5^x$ находятся в интервале $(0, 1)$, так как $5^x < 5^0 = 1$. Значения функции $y_2 = x^2 + 1$ больше 1, так как $x^2 > 0$ для $x < 0$, следовательно $x^2+1 > 1$. Таким образом, при $x < 0$ левая часть уравнения всегда меньше 1, а правая — всегда больше 1, поэтому равенство невозможно.

Следовательно, $x=0$ — единственный корень уравнения.

Ответ: $x=0$.

2) $\log_2 x = 2^x$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данного уравнения определяется условием $x > 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения: $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^x$.

Функция $y_1 = \log_2 x$ — логарифмическая, строго возрастающая на всей области определения $x > 0$.

Функция $y_2 = 2^x$ — показательная, строго возрастающая на всей числовой оси.

Проанализируем поведение функций:

В интервале $(0, 1)$: $y_1 = \log_2 x < 0$, в то время как $y_2 = 2^x > 0$. Равенство в этом интервале невозможно.

В точке $x=1$: $y_1(1) = \log_2 1 = 0$, а $y_2(1) = 2^1 = 2$. Равенство не выполняется.

При $x > 1$: обе функции возрастают. Однако показательная функция $y_2 = 2^x$ растет значительно быстрее, чем логарифмическая $y_1 = \log_2 x$. Мы уже видели, что при $x=1$, $y_2(1) > y_1(1)$. Так как скорость роста $y_2$ всегда больше скорости роста $y_1$ для $x \ge 1$ (что можно проверить через производные), то разрыв между значениями функций будет только увеличиваться. Следовательно, при $x>1$ равенство также невозможно.

Таким образом, графики функций $y_1 = \log_2 x$ и $y_2 = 2^x$ не пересекаются.

Ответ: корней нет.

3) $(\frac{1}{3})^x = \sqrt{x} + 1$

ОДЗ уравнения: $x \ge 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях: $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ и $y_2 = \sqrt{x} + 1$.

Функция $y_1 = (\frac{1}{3})^x$ — показательная с основанием меньше 1, поэтому она является строго убывающей на всей своей области определения.

Функция $y_2 = \sqrt{x} + 1$ является строго возрастающей на своей области определения $x \ge 0$.

Строго убывающая и строго возрастающая функции могут пересечься не более одного раза. Найдем точку пересечения методом подбора. Проверим $x=0$:

Левая часть: $(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Правая часть: $\sqrt{0} + 1 = 1$.

Поскольку $1=1$, $x=0$ является корнем. Так как это единственно возможное решение, других корней нет.

Действительно, для любого $x > 0$ имеем $(\frac{1}{3})^x < (\frac{1}{3})^0 = 1$ и $\sqrt{x} + 1 > \sqrt{0} + 1 = 1$. Таким образом, при $x>0$ левая часть уравнения всегда меньше правой.

Ответ: $x=0$.

4) $\log_{\frac{1}{6}} x = \sqrt{x} - 1$

ОДЗ уравнения: $x > 0$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях: $y_1 = \log_{\frac{1}{6}} x$ и $y_2 = \sqrt{x} - 1$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{6}} x$ — логарифмическая с основанием $\frac{1}{6} \in (0,1)$, поэтому она является строго убывающей на всей области определения $x > 0$.

Функция $y_2 = \sqrt{x} - 1$ является строго возрастающей на области определения $x > 0$.

Как и в предыдущем примере, строго убывающая и строго возрастающая функции могут иметь не более одной точки пересечения. Найдем ее подбором. Проверим $x=1$:

Левая часть: $\log_{\frac{1}{6}} 1 = 0$.

Правая часть: $\sqrt{1} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Поскольку $0=0$, $x=1$ является корнем уравнения. В силу монотонности функций, это единственный корень.

Можно также рассмотреть функцию $h(x) = \log_{\frac{1}{6}} x - \sqrt{x} + 1$. Ее производная $h'(x) = \frac{1}{x\ln(1/6)} - \frac{1}{2\sqrt{x}} = -\frac{1}{x\ln 6} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Так как $x > 0$, оба слагаемых отрицательны, следовательно, $h'(x) < 0$. Функция $h(x)$ строго убывает, а значит, может принимать значение 0 не более одного раза. Мы нашли, что $h(1)=0$, значит, это и есть единственный корень.

Ответ: $x=1$.

84. Укажите наибольшую величину $ \frac{5\pi}{6} $; $ \frac{11\pi}{18} $; $ 0,4\pi $; $ \frac{7\pi}{9} $; $ 0,75\pi $:

A) $ \frac{7\pi}{9} $;

B) $ \frac{5\pi}{6} $;

C) $ 0,75\pi $;

D) $ \frac{11\pi}{18} $;

E) $ 0,4\pi $.

Для того чтобы найти наибольшую величину из предложенного списка, необходимо сравнить числовые коэффициенты при $\pi$: $\frac{5}{6}$, $\frac{11}{18}$, $0,4$, $\frac{7}{9}$ и $0,75$.

Для удобства сравнения приведем все числа к общему виду — обыкновенным дробям с одинаковым знаменателем. Сначала преобразуем десятичные дроби в обыкновенные:

$0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$

$0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$

Теперь необходимо сравнить дроби: $\frac{5}{6}$, $\frac{11}{18}$, $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{9}$ и $\frac{3}{4}$. Найдем для их знаменателей (6, 18, 5, 9, 4) наименьшее общее кратное. НОК(6, 18, 5, 9, 4) = 180. Приведем все дроби к знаменателю 180:

$\frac{5}{6} \rightarrow \frac{5 \cdot 30}{6 \cdot 30} = \frac{150}{180}$

$\frac{11}{18} \rightarrow \frac{11 \cdot 10}{18 \cdot 10} = \frac{110}{180}$

$\frac{2}{5} \rightarrow \frac{2 \cdot 36}{5 \cdot 36} = \frac{72}{180}$

$\frac{7}{9} \rightarrow \frac{7 \cdot 20}{9 \cdot 20} = \frac{140}{180}$

$\frac{3}{4} \rightarrow \frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45} = \frac{135}{180}$

Теперь, когда все коэффициенты представлены в виде дробей с одинаковым знаменателем, их можно сравнить по числителям. Расположим их в порядке убывания: $150 > 140 > 135 > 110 > 72$.

Наибольший числитель (150) соответствует дроби $\frac{5}{6}$. Следовательно, $\frac{5\pi}{6}$ — это наибольшая величина в списке.

Для проверки можно преобразовать коэффициенты в десятичные дроби: $\frac{5}{6} \approx 0,833...$; $\frac{11}{18} \approx 0,611...$; $0,4$; $\frac{7}{9} \approx 0,777...$; $0,75$. Сравнение десятичных дробей ($0,833... > 0,777... > 0,75 > 0,611... > 0,4$) подтверждает результат.

Ответ: B) $\frac{5\pi}{6}$

85. Сколько градусов составляет $\frac{7}{4}$ полного угла:

A) $540^\circ$;

B) $720^\circ$;

C) $560^\circ$;

D) $630^\circ$;

E) $580^\circ$?

Чтобы найти, сколько градусов составляет $\frac{7}{4}$ полного угла, необходимо знать величину полного угла и выполнить умножение на заданную дробь.

Полный угол представляет собой полный оборот, его градусная мера равна $360^\circ$.

Чтобы найти $\frac{7}{4}$ от $360^\circ$, нужно умножить $360^\circ$ на дробь $\frac{7}{4}$:

$360^\circ \times \frac{7}{4}$

Для удобства вычислений можно сначала разделить $360$ на знаменатель $4$, а затем полученный результат умножить на числитель $7$.

1. Делим $360$ на $4$:

$360^\circ \div 4 = 90^\circ$

2. Умножаем результат на $7$:

$90^\circ \times 7 = 630^\circ$

Таким образом, $\frac{7}{4}$ полного угла равняется $630^\circ$.

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту D.

Ответ: D) $630^\circ$

86. Если $a \# c = a^2 - 2c$, то найдите значение выражения $(3 \# 5) \# \# (3 \# 4)$:

A) 1;

B) -1;

C) 2;

D) -2;

E) -12.

В задаче дана новая бинарная операция, которая обозначается символом $\#$ и определяется формулой $a \# c = a^2 - 2c$. Нам нужно найти значение сложного выражения $(3 \# 5) \# (3 \# 4)$.

Для решения этой задачи мы будем действовать по шагам, соблюдая порядок действий (сначала выполняем операции в скобках).

1. Вычислим значение первого выражения в скобках: $(3 \# 5)$

Согласно заданной формуле, мы подставляем $a=3$ и $c=5$:

$3 \# 5 = 3^2 - 2 \cdot 5 = 9 - 10 = -1$

2. Вычислим значение второго выражения в скобках: $(3 \# 4)$

Теперь подставляем $a=3$ и $c=4$ в ту же формулу:

$3 \# 4 = 3^2 - 2 \cdot 4 = 9 - 8 = 1$

3. Найдем финальное значение

Мы получили значения для выражений в скобках. Теперь подставим их в исходное выражение:

$(3 \# 5) \# (3 \# 4) = (-1) \# 1$

Осталось применить операцию $\#$ еще один раз. В этом случае $a = -1$ и $c = 1$:

$(-1) \# 1 = (-1)^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1$

Таким образом, итоговое значение выражения равно -1.

Ответ: -1.

87. Сколько радиан составляет $450^\circ$:

A) $2.5\pi$;

B) $5.2\pi$;

C) $3.5\pi$;

D) $5\pi$;

E) $4\pi$?

Для перевода градусной меры угла в радианную используется формула, связывающая эти две единицы измерения: $180^\circ = \pi$ радиан. Из этой формулы следует, что $1^\circ = \frac{\pi}{180}$ радиан.

Чтобы найти, сколько радиан составляет $450^\circ$, нужно умножить градусную меру на $\frac{\pi}{180}$:$450^\circ = 450 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ радиан}$

Теперь необходимо упростить полученное выражение. Сократим дробь $\frac{450}{180}$. Сначала можно сократить на 10:$\frac{450}{180} = \frac{45}{18}$

Затем сократим дробь $\frac{45}{18}$ на их наибольший общий делитель, который равен 9:$\frac{45 \div 9}{18 \div 9} = \frac{5}{2}$

Представим дробь $\frac{5}{2}$ в виде десятичного числа:$\frac{5}{2} = 2,5$

Таким образом, $450^\circ$ равны $2,5\pi$ радиан. Сравнив полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту A).

Ответ: A) 2,5π;

88. Сколько метров составляет пятая часть километра:

A 200 м;

B 500 м;

C 150 м;

D 250 м;

E 750 м?

Чтобы определить, сколько метров составляет пятая часть километра, для начала необходимо вспомнить, сколько метров содержится в одном километре.

В одном километре (км) — 1000 метров (м).

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$

Далее, чтобы найти пятую часть от этого значения, нужно 1000 метров разделить на 5.

Выполним вычисление:

$\frac{1000 \text{ м}}{5} = 200 \text{ м}$

Таким образом, пятая часть километра составляет 200 метров. Этот результат соответствует варианту ответа A).

Ответ: 200 м.

89. Сколько градусов составляет $3.5\pi$:

A) $540^\circ$;

B) $720^\circ$;

C) $560^\circ$;

D) $630^\circ$;

E) $450^\circ$?

Для перевода угловой меры из радиан в градусы используется основное соотношение, связывающее эти две единицы измерения: $π \text{ радиан} = 180°$.

Чтобы найти, сколько градусов составляет заданный угол в радианах, нужно умножить его значение на множитель $\frac{180°}{π}$.

В данном случае нам нужно перевести $3,5π$ радиан в градусы. Проведем вычисления:

$3,5π \cdot \frac{180°}{π}$

В этом выражении $π$ в числителе и знаменателе сокращаются, и остается вычислить произведение:

$3,5 \cdot 180°$

Для удобства вычисления можно представить десятичную дробь $3,5$ в виде обыкновенной дроби $\frac{7}{2}$:

$\frac{7}{2} \cdot 180° = 7 \cdot \frac{180°}{2} = 7 \cdot 90° = 630°$

Таким образом, $3,5π$ радиан соответствует $630°$. Этот результат совпадает с вариантом ответа D.

Ответ: D) $630°$

90. Во сколько раз натуральных однозначных чисел меньше, чем трех-значных:

A) в 901 раз;

B) в 100 раз;

C) в 10 раз;

D) в 900 раз;

E) в 899 раз?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала определить количество натуральных однозначных чисел и количество натуральных трехзначных чисел, а затем найти их соотношение.

Натуральные однозначные числа — это целые числа от 1 до 9. Их общее количество равно 9.

Натуральные трехзначные числа — это целые числа от 100 до 999. Чтобы найти их количество, можно из наибольшего трехзначного числа (999) вычесть количество всех чисел, которые меньше 100 (то есть 99). Получаем $999 - 99 = 900$. Другой способ — использовать формулу для количества чисел в последовательном ряду: $Последнее\_число - Первое\_число + 1$. Применяя ее, получаем: $999 - 100 + 1 = 900$. Таким образом, всего существует 900 трехзначных чисел.

Теперь, чтобы узнать, во сколько раз натуральных однозначных чисел меньше, чем трехзначных, нужно разделить количество трехзначных чисел на количество однозначных чисел: $\frac{900}{9} = 100$.

Следовательно, натуральных однозначных чисел в 100 раз меньше, чем трехзначных.

Ответ: в 100 раз