Номер 82, страница 150 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите уравнения графическим способом (82–83):

82. 1) $3^x = x - 2;$

2) $\log_4 x = 2 - x;$

3) $(0,2)^x - x^2 = 0;$

4) $\log_{\frac{1}{5}} x = x^2 - 1.$

1) Чтобы решить уравнение $3^x = x - 2$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = 3^x$ и $y_2 = x - 2$.

Функция $y_1 = 3^x$ — это показательная функция, она возрастает на всей числовой оси. Её график проходит через точку $(0, 1)$ и расположен в верхней полуплоскости ($y > 0$ при любом $x$).

Функция $y_2 = x - 2$ — это линейная функция, её график — прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

При $x \le 2$ значения функции $y_2 = x - 2$ неположительны ($y_2 \le 0$), в то время как значения функции $y_1 = 3^x$ всегда положительны. Следовательно, на этом промежутке пересечений нет.

При $x > 2$ обе функции положительны и возрастают. Однако показательная функция $y_1 = 3^x$ растет значительно быстрее линейной функции $y_2 = x - 2$. Например, в точке $x=1$ имеем $y_1(1)=3$, а $y_2(1)=-1$. В точке $x=2$ имеем $y_1(2)=9$, а $y_2(2)=0$. График функции $y_1 = 3^x$ всегда находится "выше" графика функции $y_2 = x - 2$.

Таким образом, графики функций не пересекаются.

Ответ: нет решений.

2) Для решения уравнения $\log_4 x = 2 - x$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_4 x$ и $y_2 = 2 - x$.

Функция $y_1 = \log_4 x$ — это логарифмическая функция. Её область определения $x > 0$. Функция возрастает на всей области определения. График проходит через точки $(1, 0)$ и $(4, 1)$.

Функция $y_2 = 2 - x$ — это линейная функция, её график — прямая. Функция убывает на всей числовой оси. График проходит через точки $(0, 2)$ и $(2, 0)$.

Возрастающая функция и убывающая функция могут пересечься не более чем в одной точке. Чтобы найти эту точку, сравним значения функций в некоторых точках.При $x = 1$: $y_1(1) = \log_4 1 = 0$, $y_2(1) = 2 - 1 = 1$. Здесь $y_1 < y_2$.При $x = 2$: $y_1(2) = \log_4 2 = 1/2 = 0.5$, $y_2(2) = 2 - 2 = 0$. Здесь $y_1 > y_2$.Поскольку на отрезке $[1, 2]$ обе функции непрерывны и в точке $x=1$ график логарифма находится ниже прямой, а в точке $x=2$ — выше, то где-то между 1 и 2 графики должны пересечься.Так как точка пересечения может быть только одна, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: уравнение имеет один корень.

3) Преобразуем уравнение $(0,2)^x - x^2 = 0$ к виду $(0,2)^x = x^2$. Для графического решения построим в одной системе координат графики функций $y_1 = (0,2)^x$ и $y_2 = x^2$.

Функция $y_1 = (0,2)^x$ — это показательная функция с основанием $0,2 < 1$, она убывает на всей числовой оси. График проходит через точку $(0, 1)$ и $(-1, 5)$.

Функция $y_2 = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

Рассмотрим поведение функций на разных промежутках:

При $x \le 0$: функция $y_1 = (0,2)^x$ возрастает (если двигаться справа налево, от 0 к $-\infty$), а функция $y_2 = x^2$ убывает. В точке $x=0$ имеем $y_1(0)=1$, а $y_2(0)=0$. При $x<0$ значения показательной функции $(0,2)^x$ растут гораздо быстрее, чем значения $x^2$. Например, при $x=-1$, $y_1(-1)=5$, а $y_2(-1)=1$. Графики на этом промежутке не пересекаются.

При $x > 0$: функция $y_1 = (0,2)^x$ убывает, а функция $y_2 = x^2$ возрастает. В точке $x=0$ график $y_1$ "стартует" с высоты 1, а график $y_2$ с высоты 0. При $x=1$ имеем $y_1(1)=0,2$, а $y_2(1)=1$. Так как на промежутке $(0,1)$ одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и их относительное положение меняется, они должны пересечься ровно один раз.

Следовательно, графики функций имеют только одну точку пересечения.

Ответ: уравнение имеет один корень.

4) Для решения уравнения $\log_{\frac{1}{5}} x = x^2 - 1$ графическим способом, построим в одной системе координат графики функций $y_1 = \log_{\frac{1}{5}} x$ и $y_2 = x^2 - 1$.

Функция $y_1 = \log_{\frac{1}{5}} x$ — это логарифмическая функция. Область определения $x > 0$. Так как основание логарифма $\frac{1}{5} < 1$, функция является убывающей. График проходит через точку $(1, 0)$.

Функция $y_2 = x^2 - 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -1)$ и ветвями вверх. На области определения $x > 0$ эта функция является возрастающей. Её график также проходит через точку $(1, 0)$.

Поскольку на всей области определения $x>0$ одна функция является строго убывающей, а другая — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения.

Проверим точку $x=1$:

$y_1(1) = \log_{\frac{1}{5}} 1 = 0$.

$y_2(1) = 1^2 - 1 = 0$.

Значения функций совпадают, значит, их графики пересекаются в точке $(1, 0)$. Так как это единственно возможная точка пересечения, $x=1$ является единственным решением уравнения.

Ответ: $x=1$.