Номер 75, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

75. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]:$

1) $f(x) = \left(\frac{2}{3}\right)^x, [-1; 0];$

2) $f(x) = 2^x - 4, [-2; 2];$

3) $f(x) = 3 + \log_5 x, \left[\frac{1}{5}; 5\right];$

4) $f(x) = \log_4 x - 1, \left[\frac{1}{16}; 4\right].$

1) $f(x) = (\frac{2}{3})^x$ на отрезке $[-1; 0]$

Данная функция является показательной. Основание степени $a = \frac{2}{3}$. Так как $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей области определения, в том числе и на заданном отрезке $[-1; 0]$.

Это означает, что наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка (при наименьшем значении $x$), а наименьшее значение — на правом конце отрезка (при наибольшем значении $x$).

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(-1) = (\frac{2}{3})^{-1} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2} = 1.5$.

Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(0) = (\frac{2}{3})^0 = 1$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $1.5$, наименьшее значение равно $1$.

2) $f(x) = 2^x - 4$ на отрезке $[-2; 2]$

Функция $y=2^x$ является показательной с основанием $a = 2$. Так как $a > 1$, эта функция монотонно возрастает. Функция $f(x) = 2^x - 4$ получена из $y=2^x$ сдвигом вниз на 4 единицы, что не меняет ее характера монотонности. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на отрезке $[-2; 2]$.

Это означает, что наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(-2) = 2^{-2} - 4 = \frac{1}{2^2} - 4 = \frac{1}{4} - 4 = 0.25 - 4 = -3.75$.

Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(2) = 2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $0$, наименьшее значение равно $-3.75$.

3) $f(x) = 3 + \log_5 x$ на отрезке $[\frac{1}{5}; 5]$

Функция $y=\log_5 x$ является логарифмической с основанием $a = 5$. Так как $a > 1$, эта функция монотонно возрастает. Функция $f(x) = 3 + \log_5 x$ получена из $y=\log_5 x$ сдвигом вверх на 3 единицы, что не влияет на ее монотонность. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на отрезке $[\frac{1}{5}; 5]$.

Таким образом, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(\frac{1}{5}) = 3 + \log_5(\frac{1}{5}) = 3 + \log_5(5^{-1}) = 3 + (-1) = 2$.

Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(5) = 3 + \log_5 5 = 3 + 1 = 4$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $4$, наименьшее значение равно $2$.

4) $f(x) = \log_4 x - 1$ на отрезке $[\frac{1}{16}; 4]$

Функция $y=\log_4 x$ является логарифмической с основанием $a = 4$. Так как $a > 1$, эта функция монотонно возрастает. Функция $f(x) = \log_4 x - 1$ получена из $y=\log_4 x$ сдвигом вниз на 1 единицу, что не меняет ее монотонность. Следовательно, функция $f(x)$ монотонно возрастает на отрезке $[\frac{1}{16}; 4]$.

Значит, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f_{наим.} = f(\frac{1}{16}) = \log_4(\frac{1}{16}) - 1 = \log_4(4^{-2}) - 1 = -2 - 1 = -3$.

Наибольшее значение: $f_{наиб.} = f(4) = \log_4 4 - 1 = 1 - 1 = 0$.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке равно $0$, наименьшее значение равно $-3$.