Номер 74, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

74. Исследуйте функцию $y = f(x)$ и постройте ее график:

1) $f(x) = 4xe^{0.5x}$;

2) $f(x) = x\ln x$;

3) $f(x) = \ln x - x$;

4) $f(x) = \frac{x^2}{e^x}$.

1) f(x) = 4xe^0.5x

1. Область определения функции.

Функция определена для всех действительных значений $x$, так как она является произведением линейной функции $4x$ и показательной функции $e^{0.5x}$, которые определены на всей числовой оси. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = 4(-x)e^{0.5(-x)} = -4xe^{-0.5x}$.

Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = 4 \cdot 0 \cdot e^0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow 4xe^{0.5x} = 0$. Так как $e^{0.5x} > 0$ для любого $x$, то $4x=0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.

Горизонтальные асимптоты:

$\lim_{x \to +\infty} 4xe^{0.5x} = +\infty$, так что справа горизонтальной асимптоты нет.

$\lim_{x \to -\infty} 4xe^{0.5x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{e^{-0.5x}}$. Это неопределенность вида $\frac{-\infty}{\infty}$. Применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{(4x)'}{(e^{-0.5x})'} = \lim_{x \to -\infty} \frac{4}{-0.5e^{-0.5x}} = \lim_{x \to -\infty} -8e^{0.5x} = 0$.

Следовательно, $y=0$ (ось Ox) является горизонтальной асимптотой при $x \to -\infty$.

Наклонных асимптот нет, так как при $x \to -\infty$ есть горизонтальная асимптота, а при $x \to +\infty$ предел $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} 4e^{0.5x} = +\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (4x)'e^{0.5x} + 4x(e^{0.5x})' = 4e^{0.5x} + 4x \cdot 0.5e^{0.5x} = 4e^{0.5x} + 2xe^{0.5x} = 2e^{0.5x}(2+x)$.

Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow 2e^{0.5x}(2+x) = 0$. Так как $2e^{0.5x} > 0$, то $2+x=0 \Rightarrow x=-2$.

При $x < -2$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > -2$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-2$ функция имеет минимум. $f_{min} = f(-2) = 4(-2)e^{0.5(-2)} = -8e^{-1} = -8/e \approx -2.94$.

Точка минимума: $(-2, -8/e)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (2e^{0.5x}(2+x))' = (2e^{0.5x})'(2+x) + 2e^{0.5x}(2+x)' = e^{0.5x}(2+x) + 2e^{0.5x} = e^{0.5x}(2+x+2) = e^{0.5x}(x+4)$.

Найдем точки, где $f''(x)=0 \Rightarrow e^{0.5x}(x+4) = 0 \Rightarrow x=-4$.

При $x < -4$, $f''(x) < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

При $x > -4$, $f''(x) > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

В точке $x=-4$ происходит смена знака второй производной, значит, это точка перегиба.

$f(-4) = 4(-4)e^{0.5(-4)} = -16e^{-2} = -16/e^2 \approx -2.16$.

Точка перегиба: $(-4, -16/e^2)$.

7. Построение графика.

На основе исследования строим график. График приближается к оси Ox слева, проходит через точку перегиба $(-4, -16/e^2)$, достигает минимума в точке $(-2, -8/e)$, проходит через начало координат $(0,0)$ и уходит в $+\infty$.

Ответ: Функция определена на $(-\infty, +\infty)$, убывает на $(-\infty, -2]$, возрастает на $[-2, +\infty)$. Точка минимума $(-2, -8/e)$. График выпуклый вверх на $(-\infty, -4)$ и выпуклый вниз на $(-4, +\infty)$. Точка перегиба $(-4, -16/e^2)$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to -\infty$.

2) f(x) = xlnx

1. Область определения функции.

Функция определена, когда выражение под логарифмом положительно, то есть $x > 0$. Область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечения с осью Oy нет, так как $x=0$ не входит в область определения.

Пересечение с осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow x\ln x = 0$. Так как $x > 0$, то $\ln x = 0 \Rightarrow x=1$. Точка $(1, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота может быть на границе области определения, т.е. при $x \to 0^+$.

$\lim_{x \to 0^+} x\ln x = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln x}{1/x}$. Это неопределенность вида $\frac{-\infty}{\infty}$. Применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{(\ln x)'}{(1/x)'} = \lim_{x \to 0^+} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0$.

Вертикальной асимптоты нет. График начинается в точке $(0,0)$ (выколотая точка).

Горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to +\infty} x\ln x = +\infty$.

Наклонных асимптот нет, так как $k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.

Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \Rightarrow \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = e^{-1} = 1/e$.

При $0 < x < 1/e$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x > 1/e$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=1/e$ функция имеет минимум. $f_{min} = f(1/e) = \frac{1}{e}\ln(\frac{1}{e}) = \frac{1}{e}(-1) = -1/e \approx -0.37$.

Точка минимума: $(1/e, -1/e)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (\ln x + 1)' = 1/x$.

На всей области определения $x>0$, поэтому $f''(x) = 1/x > 0$. График функции всегда выпуклый вниз (выпуклый). Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

График начинается в точке $(0,0)$, убывает до точки минимума $(1/e, -1/e)$, затем возрастает, проходя через точку $(1,0)$, и уходит в $+\infty$.

Ответ: Функция определена на $(0, +\infty)$, убывает на $(0, 1/e]$, возрастает на $[1/e, +\infty)$. Точка минимума $(1/e, -1/e)$. График выпуклый вниз на всей области определения. Асимптот нет.

3) f(x) = lnx - x

1. Область определения функции.

Функция определена при $x > 0$. Область определения $D(f) = (0, +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

Область определения несимметрична, функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечения с осью Oy нет ($x=0$ не в $D(f)$).

Пересечение с осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow \ln x - x = 0 \Rightarrow \ln x = x$. Это уравнение не имеет решений. Чтобы это показать, рассмотрим функцию $g(x) = \ln x - x$. Ее производная $g'(x) = 1/x - 1$. $g'(x)=0$ при $x=1$. Это точка максимума. $g_{max} = g(1) = \ln 1 - 1 = -1$. Так как максимальное значение функции равно -1, она никогда не пересекает ось Ox. График полностью лежит ниже оси Ox.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $\lim_{x \to 0^+} (\ln x - x) = -\infty$. Прямая $x=0$ (ось Oy) является вертикальной асимптотой.

Горизонтальных асимптот нет, так как $\lim_{x \to +\infty} (\ln x - x) = \lim_{x \to +\infty} x(\frac{\ln x}{x} - 1) = -\infty$.

Наклонная асимптота $y=kx+b$:

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x - x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (\frac{\ln x}{x} - 1) = 0-1 = -1$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (\ln x - x - (-1)x) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$.

Так как $b$ не является конечным числом, наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = 1/x - 1$.

Критическая точка: $f'(x)=0 \Rightarrow 1/x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$.

При $0 < x < 1$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x > 1$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=1$ функция имеет максимум. $f_{max} = f(1) = \ln 1 - 1 = -1$.

Точка максимума: $(1, -1)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (1/x - 1)' = -1/x^2$.

На всей области определения $x>0$, поэтому $f''(x) = -1/x^2 < 0$. График функции всегда выпуклый вверх (вогнутый). Точек перегиба нет.

7. Построение графика.

График начинается от $-\infty$ вдоль оси Oy, возрастает до точки максимума $(1, -1)$, а затем убывает, уходя в $-\infty$.

Ответ: Функция определена на $(0, +\infty)$, возрастает на $(0, 1]$, убывает на $[1, +\infty)$. Точка максимума $(1, -1)$. График выпуклый вверх на всей области определения. Вертикальная асимптота $x=0$.

4) f(x) = x²/e^x

1. Область определения функции.

Знаменатель $e^x \neq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Область определения $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = (-x)^2 / e^{-x} = x^2e^x$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy: $x=0 \Rightarrow f(0) = 0^2/e^0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью Ox: $f(x)=0 \Rightarrow x^2/e^x = 0 \Rightarrow x^2=0 \Rightarrow x=0$. Точка $(0, 0)$.

График проходит через начало координат. Также $f(x) \ge 0$ для всех $x$, так как $x^2 \ge 0$ и $e^x > 0$.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальные асимптоты:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$. Неопределенность $\frac{\infty}{\infty}$. Дважды применим правило Лопиталя:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x} = 0$.

Прямая $y=0$ (ось Ox) — горизонтальная асимптота при $x \to +\infty$.

$\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{e^x} = \lim_{x \to -\infty} x^2e^{-x} = (+\infty) \cdot (+\infty) = +\infty$. Слева горизонтальной асимптоты нет.

Наклонных асимптот нет.

5. Промежутки монотонности и точки экстремума.

Найдем первую производную: $f'(x) = \frac{(x^2)'e^x - x^2(e^x)'}{(e^x)^2} = \frac{2xe^x - x^2e^x}{e^{2x}} = \frac{xe^x(2-x)}{e^{2x}} = \frac{x(2-x)}{e^x}$.

Критические точки: $f'(x)=0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0$ или $x=2$.

При $x \in (-\infty, 0)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (0, 2)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x \in (2, +\infty)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

$x=0$ — точка минимума. $f_{min} = f(0)=0$. Точка минимума: $(0,0)$.

$x=2$ — точка максимума. $f_{max} = f(2) = 2^2/e^2 = 4/e^2 \approx 0.54$. Точка максимума: $(2, 4/e^2)$.

6. Промежутки выпуклости и точки перегиба.

Найдем вторую производную: $f''(x) = (\frac{2x-x^2}{e^x})' = \frac{(2-2x)e^x - (2x-x^2)e^x}{e^{2x}} = \frac{2-2x-2x+x^2}{e^x} = \frac{x^2-4x+2}{e^x}$.

Найдем точки, где $f''(x)=0 \Rightarrow x^2-4x+2=0$.

$D = 16 - 8 = 8$, $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.

$x_1 = 2-\sqrt{2} \approx 0.59$, $x_2 = 2+\sqrt{2} \approx 3.41$.

При $x \in (-\infty, 2-\sqrt{2})$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

При $x \in (2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$, $f''(x) < 0$, график выпуклый вверх.

При $x \in (2+\sqrt{2}, +\infty)$, $f''(x) > 0$, график выпуклый вниз.

Точки $x=2-\sqrt{2}$ и $x=2+\sqrt{2}$ являются точками перегиба.

$f(2-\sqrt{2}) = \frac{(2-\sqrt{2})^2}{e^{2-\sqrt{2}}} \approx \frac{0.34}{1.8} \approx 0.19$.

$f(2+\sqrt{2}) = \frac{(2+\sqrt{2})^2}{e^{2+\sqrt{2}}} \approx \frac{11.66}{30.4} \approx 0.38$.

7. Построение графика.

График приходит из $+\infty$ слева, убывает до точки минимума в начале координат $(0,0)$, затем возрастает до точки максимума $(2, 4/e^2)$, после чего убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox. График имеет две точки перегиба.

Ответ: Функция определена на $(-\infty, +\infty)$, убывает на $(-\infty, 0] \cup [2, +\infty)$, возрастает на $[0, 2]$. Точка минимума $(0,0)$, точка максимума $(2, 4/e^2)$. График выпуклый вниз на $(-\infty, 2-\sqrt{2}) \cup (2+\sqrt{2}, +\infty)$ и выпуклый вверх на $(2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2})$. Точки перегиба при $x=2\pm\sqrt{2}$. Горизонтальная асимптота $y=0$ при $x \to +\infty$.