Номер 77, страница 149 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

77. 1) $f(x) = 16x^3 + 3x^2$, K(1; 2);

2) $f(x) = \frac{2}{5x^4} + 7x^6$, K(-1; 1);

3) $f(x) = \frac{5}{3\sin^2 x}$, $K\left(\frac{\pi}{4}; 1\right)$;

4) $f(x) = -\frac{6}{\sqrt{1 + 3x}}$, K(5; 0).

1) Для того чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через заданную точку $K(x_0; y_0)$, необходимо сначала найти общий вид первообразной (неопределенный интеграл), а затем, используя координаты точки, вычислить константу интегрирования $C$.

Дана функция $f(x) = 16x^3 + 3x^2$ и точка $K(1; 2)$.

1. Находим общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования $f(x)$:

$F(x) = \int (16x^3 + 3x^2) dx = 16 \int x^3 dx + 3 \int x^2 dx$

Применяя формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$, получаем:

$F(x) = 16 \cdot \frac{x^{4}}{4} + 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} + C = 4x^4 + x^3 + C$.

2. Используем координаты точки $K(1; 2)$ для нахождения $C$. Это означает, что при $x=1$, значение $F(1)$ должно быть равно $2$.

$F(1) = 4(1)^4 + (1)^3 + C = 2$

$4 + 1 + C = 2$

$5 + C = 2$

$C = 2 - 5 = -3$.

3. Подставляем найденное значение $C$ в общее выражение для первообразной.

Искомая первообразная: $F(x) = 4x^4 + x^3 - 3$.

Ответ: $F(x) = 4x^4 + x^3 - 3$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{2}{5x^4} + 7x^6$ и точка $K(-1; 1)$.

1. Перепишем функцию для удобства интегрирования: $f(x) = \frac{2}{5}x^{-4} + 7x^6$.

Находим общий вид первообразной:

$F(x) = \int (\frac{2}{5}x^{-4} + 7x^6) dx = \frac{2}{5} \int x^{-4} dx + 7 \int x^6 dx$

$F(x) = \frac{2}{5} \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + 7 \cdot \frac{x^{7}}{7} + C = -\frac{2}{15}x^{-3} + x^7 + C = x^7 - \frac{2}{15x^3} + C$.

2. Используем координаты точки $K(-1; 1)$, то есть $F(-1) = 1$.

$F(-1) = (-1)^7 - \frac{2}{15(-1)^3} + C = 1$

$-1 - \frac{2}{15(-1)} + C = 1$

$-1 + \frac{2}{15} + C = 1$

$-\frac{15}{15} + \frac{2}{15} + C = 1$

$-\frac{13}{15} + C = 1$

$C = 1 + \frac{13}{15} = \frac{15+13}{15} = \frac{28}{15}$.

3. Искомая первообразная:

$F(x) = x^7 - \frac{2}{15x^3} + \frac{28}{15}$.

Ответ: $F(x) = x^7 - \frac{2}{15x^3} + \frac{28}{15}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{5}{3\sin^2 x}$ и точка $K(\frac{\pi}{4}; 1)$.

1. Находим общий вид первообразной, используя табличный интеграл $\int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\cot x + C$.

$F(x) = \int \frac{5}{3\sin^2 x} dx = \frac{5}{3} \int \frac{1}{\sin^2 x} dx = \frac{5}{3} (-\cot x) + C = -\frac{5}{3}\cot x + C$.

2. Используем координаты точки $K(\frac{\pi}{4}; 1)$, то есть $F(\frac{\pi}{4}) = 1$.

$F(\frac{\pi}{4}) = -\frac{5}{3}\cot(\frac{\pi}{4}) + C = 1$.

Поскольку $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$-\frac{5}{3} \cdot 1 + C = 1$

$C = 1 + \frac{5}{3} = \frac{3+5}{3} = \frac{8}{3}$.

3. Искомая первообразная:

$F(x) = -\frac{5}{3}\cot x + \frac{8}{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{5}{3}\cot x + \frac{8}{3}$.

4) Дана функция $f(x) = -\frac{6}{\sqrt{1+3x}}$ и точка $K(5; 0)$.

1. Перепишем функцию: $f(x) = -6(1+3x)^{-1/2}$.

Находим общий вид первообразной, используя формулу для сложной функции $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

$F(x) = \int -6(1+3x)^{-1/2} dx = -6 \int (1+3x)^{-1/2} dx$

$F(x) = -6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{(1+3x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = -2 \cdot \frac{(1+3x)^{1/2}}{1/2} + C = -4(1+3x)^{1/2} + C = -4\sqrt{1+3x} + C$.

2. Используем координаты точки $K(5; 0)$, то есть $F(5) = 0$.

$F(5) = -4\sqrt{1+3 \cdot 5} + C = 0$

$-4\sqrt{1+15} + C = 0$

$-4\sqrt{16} + C = 0$

$-4 \cdot 4 + C = 0$

$-16 + C = 0$

$C = 16$.

3. Искомая первообразная:

$F(x) = -4\sqrt{1+3x} + 16$.

Ответ: $F(x) = 16 - 4\sqrt{1+3x}$.