Номер 70, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$ (70–71):

70. 1) $f(x) = \sqrt{x-1}$; 2) $f(x) = 3\sqrt{x}$;

3) $f(x) = 3^x - 3$; 4) $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1$.

1) Для того чтобы найти промежутки знакопостоянства функции $f(x) = \sqrt{x} - 1$, сначала определим ее область определения. Выражение под корнем должно быть неотрицательным, то есть $x \geq 0$. Таким образом, область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

Далее, найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$\sqrt{x} - 1 = 0$

$\sqrt{x} = 1$

Возведя обе части в квадрат, получаем $x = 1$.

Точка $x=1$ разбивает область определения $[0, +\infty)$ на два промежутка: $[0, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак функции на каждом промежутке.

- Для промежутка $[0, 1)$, выберем пробную точку, например, $x=0.25$. $f(0.25) = \sqrt{0.25} - 1 = 0.5 - 1 = -0.5$. Так как значение отрицательное, то $f(x) < 0$ на всем промежутке $[0, 1)$.

- Для промежутка $(1, +\infty)$, выберем пробную точку, например, $x=4$. $f(4) = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. Так как значение положительное, то $f(x) > 0$ на всем промежутке $(1, +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in [0, 1)$.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = 3\sqrt{x}$.

Область определения функции, как и в предыдущем случае, $x \geq 0$, то есть $D(f) = [0, +\infty)$.

Найдем нули функции:

$3\sqrt{x} = 0$

$\sqrt{x} = 0$

$x = 0$.

Нуль функции $x=0$ является крайней точкой области определения.

Рассмотрим знак функции на промежутке $(0, +\infty)$. Для любого $x > 0$, значение $\sqrt{x}$ является положительным числом. Произведение положительного числа 3 на положительное число $\sqrt{x}$ всегда будет положительным.

Следовательно, $f(x) > 0$ для всех $x$ из промежутка $(0, +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (0, +\infty)$.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = 3^x - 3$.

Область определения показательной функции — все действительные числа, то есть $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Найдем нули функции, решив уравнение $f(x) = 0$:

$3^x - 3 = 0$

$3^x = 3$

$3^x = 3^1$

$x = 1$.

Точка $x=1$ разбивает числовую прямую на два промежутка: $(-\infty, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак функции на каждом из них.

- На промежутке $(-\infty, 1)$, возьмем $x=0$. $f(0) = 3^0 - 3 = 1 - 3 = -2 < 0$. Следовательно, $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 1)$.

- На промежутке $(1, +\infty)$, возьмем $x=2$. $f(2) = 3^2 - 3 = 9 - 3 = 6 > 0$. Следовательно, $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (1, +\infty)$; $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 1)$.

4) Рассмотрим функцию $f(x) = \left(\frac{1}{7}\right)^x + 1$.

Область определения показательной функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

Попытаемся найти нули функции:

$\left(\frac{1}{7}\right)^x + 1 = 0$

$\left(\frac{1}{7}\right)^x = -1$.

Данное уравнение не имеет решений, так как показательная функция $a^x$ (где $a>0$, $a\neq1$) всегда принимает только положительные значения. То есть, $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$ для любого $x$.

Поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой и не имеет нулей, она сохраняет свой знак на всей области определения.

Для любого действительного $x$ имеем $\left(\frac{1}{7}\right)^x > 0$, следовательно, $\left(\frac{1}{7}\right)^x + 1 > 1 > 0$.

Таким образом, функция положительна на всей своей области определения.

Ответ: $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, +\infty)$.