Номер 66, страница 148 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите множества значений функции $y = f(x)$ (66—67):

66. 1) $f(x) = 2 + \sqrt{x}$; 2) $f(x) = -3 + \sqrt{x}$;

3) $f(x) = 2^x + 2$; 4) $f(x) = 3 + \left(\frac{1}{3}\right)^x$.

1) Для функции $f(x) = 2 + \sqrt{x}$. Множество значений для базовой функции $y = \sqrt{x}$ — это все неотрицательные числа, так как арифметический квадратный корень не может быть отрицательным. Это можно записать в виде неравенства: $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем 2 к каждой части этого неравенства: $\sqrt{x} + 2 \ge 0 + 2$, что дает нам $f(x) \ge 2$. Таким образом, множество значений функции — это все числа, большие или равные 2. Ответ: $E(f) = [2, +\infty)$.

2) Для функции $f(x) = -3 + \sqrt{x}$. Аналогично первому пункту, мы знаем, что $\sqrt{x} \ge 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем -3 (или вычитаем 3) к каждой части неравенства: $\sqrt{x} - 3 \ge 0 - 3$, что приводит к $f(x) \ge -3$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, большие или равные -3. Ответ: $E(f) = [-3, +\infty)$.

3) Для функции $f(x) = 2^x + 2$. Множество значений для показательной функции $y = 2^x$ — это все строго положительные числа, поскольку основание степени больше 1. Это выражается неравенством $2^x > 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем 2 к обеим частям этого неравенства: $2^x + 2 > 0 + 2$, что дает нам $f(x) > 2$. Таким образом, множество значений функции — это все числа, строго большие 2. Ответ: $E(f) = (2, +\infty)$.

4) Для функции $f(x) = 3 + (\frac{1}{3})^x$. Показательная функция $y = (\frac{1}{3})^x$ также принимает только строго положительные значения, независимо от значения $x$, так как основание степени положительно. То есть, $(\frac{1}{3})^x > 0$. Чтобы найти множество значений для $f(x)$, мы прибавляем 3 к обеим частям этого неравенства: $(\frac{1}{3})^x + 3 > 0 + 3$, что приводит к $f(x) > 3$. Следовательно, множество значений функции — это все числа, строго большие 3. Ответ: $E(f) = (3, +\infty)$.