Номер 62, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

62. 1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 + 3}{x + 3} < -1;$

2) $\log_2 \frac{x^2 - 4}{x + 10} > 1;$

3) $\log_3 x + \log_3 (x - 1) > \log_3 x + 1;$

4) $\log_{0,1} (x - 2) + 1 < \log_{0,1} 0,3 - \log_{0,1} x.$

1) Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 + 3}{x + 3} < -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x^2 + 3}{x + 3} > 0$.

Так как числитель $x^2 + 3$ всегда положителен при любом действительном $x$ (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 3 \ge 3$), знак дроби определяется знаком знаменателя.

Следовательно, $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.

ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

$-1 = log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) = log_{\frac{1}{2}} 2$.

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 + 3}{x + 3} < log_{\frac{1}{2}} 2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2 + 3}{x + 3} > 2$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 3}{x + 3} - 2 > 0 \implies \frac{x^2 + 3 - 2(x + 3)}{x + 3} > 0 \implies \frac{x^2 + 3 - 2x - 6}{x + 3} > 0 \implies \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 3} > 0$.

Найдем корни числителя $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Разложим числитель на множители:

$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x + 3} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю: -3, -1, 3. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале:

При $x > 3$, выражение положительно.

При $-1 < x < 3$, выражение отрицательно.

При $-3 < x < -1$, выражение положительно.

При $x < -3$, выражение отрицательно.

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $(-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Совместим полученное решение с ОДЗ ($x > -3$). Пересечение множеств $(-3; -1) \cup (3; +\infty)$ и $(-3; +\infty)$ есть $(-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $log_2 \frac{x^2 - 4}{x + 10} > 1$.

Найдем ОДЗ: $\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 10} > 0$.

Методом интервалов с критическими точками -10, -2, 2 находим, что выражение положительно при $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решаем неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 2: $1 = log_2 2$.

$log_2 \frac{x^2 - 4}{x + 10} > log_2 2$.

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 2$.

$\frac{x^2 - 4}{x + 10} - 2 > 0 \implies \frac{x^2 - 4 - 2(x + 10)}{x + 10} > 0 \implies \frac{x^2 - 2x - 24}{x + 10} > 0$.

Корни числителя $x^2 - 2x - 24 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

$\frac{(x - 6)(x + 4)}{x + 10} > 0$.

Методом интервалов с точками -10, -4, 6 получаем решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$.

Итоговое решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $log_3 x + log_3 (x - 1) > log_3 x + 1$.

Найдем ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Упростим исходное неравенство, вычтя $log_3 x$ из обеих частей (это возможно, так как на ОДЗ $log_3 x$ определен):

$log_3 (x - 1) > 1$.

Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = log_3 3$.

$log_3 (x - 1) > log_3 3$.

Основание $3 > 1$, функция возрастающая, следовательно, знак неравенства сохраняется:

$x - 1 > 3 \implies x > 4$.

Решение $x > 4$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $log_{0,1} (x - 2) + 1 < log_{0,1} 0,3 - log_{0,1} x$.

Найдем ОДЗ из условий существования логарифмов:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

Сгруппируем слагаемые с логарифмами в левой части, а константы — в правой:

$log_{0,1} (x - 2) + log_{0,1} x < log_{0,1} 0,3 - 1$.

Применим свойства логарифмов. Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Представим $1$ как $log_{0,1} 0,1$.

$log_{0,1} (x(x - 2)) < log_{0,1} 0,3 - log_{0,1} 0,1$.

Разность логарифмов равна логарифму частного:

$log_{0,1} (x^2 - 2x) < log_{0,1} \frac{0,3}{0,1}$.

$log_{0,1} (x^2 - 2x) < log_{0,1} 3$.

Основание логарифма $0,1 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 2x > 3$.

$x^2 - 2x - 3 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 1) > 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 2$).

Пересечением множеств $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.