Номер 57, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

57. 1) $\log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < \log_{\frac{2}{3}}(2x - 9)$;

2) $\log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) > \log_{\frac{4}{3}}(x - 9)$;

3) $\log_5(x^2 - 1) > \log_5 3$;

4) $\log_{11}(x^2 + 7) < \log_{11}(6x - 1)$.

1) Исходное неравенство: $ \log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < \log_{\frac{2}{3}}(2x - 9) $.

Так как основание логарифма $ a = \frac{2}{3} $ удовлетворяет условию $ 0 < a < 1 $, то логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где аргументы логарифмов строго больше нуля.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 8 > 0 \\ 2x - 9 > 0 \\ 3x - 8 > 2x - 9 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 3x - 8 > 0 \implies 3x > 8 \implies x > \frac{8}{3} $

2. $ 2x - 9 > 0 \implies 2x > 9 \implies x > \frac{9}{2} $

3. $ 3x - 8 > 2x - 9 \implies 3x - 2x > -9 + 8 \implies x > -1 $

Теперь найдем пересечение решений. Условие $ x > \frac{9}{2} $ (т.е. $ x > 4.5 $) является наиболее строгим, так как если $ x > 4.5 $, то условия $ x > \frac{8}{3} $ (т.е. $ x > 2.\overline{6} $) и $ x > -1 $ выполняются автоматически.

Следовательно, решение системы — $ x > \frac{9}{2} $.

Ответ: $ x \in (\frac{9}{2}; +\infty) $.

2) Исходное неравенство: $ \log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) > \log_{\frac{4}{3}}(x - 9) $.

Так как основание логарифма $ a = \frac{4}{3} $ больше 1, то логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 7x + 1 > 0 \\ x - 9 > 0 \\ 7x + 1 > x - 9 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 7x + 1 > 0 \implies 7x > -1 \implies x > -\frac{1}{7} $

2. $ x - 9 > 0 \implies x > 9 $

3. $ 7x + 1 > x - 9 \implies 6x > -10 \implies x > -\frac{10}{6} \implies x > -\frac{5}{3} $

Найдем пересечение решений. Условие $ x > 9 $ является самым строгим и включает в себя остальные два условия ($ 9 > -\frac{1}{7} $ и $ 9 > -\frac{5}{3} $).

Следовательно, решение системы — $ x > 9 $.

Ответ: $ x \in (9; +\infty) $.

3) Исходное неравенство: $ \log_{5}(x^2 - 1) > \log_{5}3 $.

Основание логарифма $ a = 5 > 1 $, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется. ОДЗ требует, чтобы аргумент логарифма был положителен.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 3 \end{cases}$

Неравенство $ x^2 - 1 > 3 $ является более строгим, чем $ x^2 - 1 > 0 $, поэтому достаточно решить только его.

$ x^2 - 1 > 3 \implies x^2 > 4 $

Решением этого неравенства являются $ x < -2 $ или $ x > 2 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $.

4) Исходное неравенство: $ \log_{11}(x^2 + 7) < \log_{11}(6x - 1) $.

Основание логарифма $ a = 11 > 1 $, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 7 > 0 \\ 6x - 1 > 0 \\ x^2 + 7 < 6x - 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $ x^2 + 7 > 0 $. Так как $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ x^2 + 7 \ge 7 $, и это неравенство выполняется для всех $ x \in \mathbb{R} $.

2. $ 6x - 1 > 0 \implies 6x > 1 \implies x > \frac{1}{6} $

3. $ x^2 + 7 < 6x - 1 \implies x^2 - 6x + 8 < 0 $.Найдем корни уравнения $ x^2 - 6x + 8 = 0 $. По теореме Виета корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $.Так как парабола $ y = x^2 - 6x + 8 $ ветвями вверх, неравенство $ x^2 - 6x + 8 < 0 $ выполняется между корнями, то есть $ 2 < x < 4 $.

Теперь найдем пересечение решений $ x > \frac{1}{6} $ и $ 2 < x < 4 $. Интервал $ (2; 4) $ полностью удовлетворяет условию $ x > \frac{1}{6} $.

Следовательно, решением является интервал $ (2; 4) $.

Ответ: $ x \in (2; 4) $.