Номер 58, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

58. 1) $\log_{2,7}(x - 2) + \log_{2,7}x > \log_{2,7}(x + 4);$

2) $\log_{\frac{1}{4}}x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8);$

3) $\log_2(x - 1) + \log_2x < 1;$

4) $\log_3x + \log_3(x - 8) > 2.$

1) $\log_{2,7}(x - 2) + \log_{2,7}x > \log_{2,7}(x + 4)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ для левой части неравенства:

$\log_{2,7}((x - 2)x) > \log_{2,7}(x + 4)$

$\log_{2,7}(x^2 - 2x) > \log_{2,7}(x + 4)$

Так как основание логарифма $2,7 > 1$, то функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x > x + 4$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 2$).

Пересечением интервалов $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{4}}x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 6 > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 6 \\ x > \frac{8}{3} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 6$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{4}}(x(x - 6)) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

$\log_{\frac{1}{4}}(x^2 - 6x) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{4} < 1$, то функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 6x > 3x - 8$

$x^2 - 9x + 8 > 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Неравенство $x^2 - 9x + 8 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (8; +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 6$).

Пересечением интервалов $(-\infty; 1) \cup (8; +\infty)$ и $(6; +\infty)$ является интервал $(8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3) $\log_2(x - 1) + \log_2 x < 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем неравенство, представив правую часть в виде логарифма с основанием 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2((x - 1)x) < \log_2 2$

$\log_2(x^2 - x) < \log_2 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - x < 2$

$x^2 - x - 2 < 0$

Решим уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Парабола с ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1; 2)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ ($x > 1$).

Пересечением интервалов $(-1; 2)$ и $(1; +\infty)$ является интервал $(1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

4) $\log_3 x + \log_3(x - 8) > 2$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 8 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 8$.

Преобразуем неравенство, представив 2 как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.

$\log_3(x(x - 8)) > \log_3 9$

$\log_3(x^2 - 8x) > \log_3 9$

Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 8x > 9$

$x^2 - 8x - 9 > 0$

Решим уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$. Корни: $x_1 = 9$, $x_2 = -1$.

Неравенство $x^2 - 8x - 9 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ ($x > 8$).

Пересечением интервалов $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$ и $(8; +\infty)$ является интервал $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in (9; +\infty)$.