Номер 59, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

59. 1) $\log_{1/6}\left(8 - \frac{4}{5}x\right) > -2;$

2) $\log_3(4x - x^2) > 1;$

3) $\log_3\left(3 - \frac{x}{2}\right) > \log_3(2x - 1);$

4) $\log_{0.8}(x^2 - 8) > \log_{0.8} 8.$

1) $\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > -2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$8 - \frac{4}{5}x > 0$

$8 > \frac{4}{5}x$

$40 > 4x$

$x < 10$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$-2 = -2 \cdot \log_{\frac{1}{6}}(\frac{1}{6}) = \log_{\frac{1}{6}}((\frac{1}{6})^{-2}) = \log_{\frac{1}{6}}(6^2) = \log_{\frac{1}{6}}(36)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > \log_{\frac{1}{6}}(36)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$8 - \frac{4}{5}x < 36$

$-\frac{4}{5}x < 36 - 8$

$-\frac{4}{5}x < 28$

Умножим обе части на $-\frac{5}{4}$ и снова сменим знак неравенства:

$x > 28 \cdot (-\frac{5}{4})$

$x > -35$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Решением является пересечение интервалов $x < 10$ и $x > -35$.

$-35 < x < 10$

Ответ: $(-35; 10)$.

2) $\log_3(4x - x^2) > 1$

Найдем ОДЗ:

$4x - x^2 > 0$

$x(4 - x) > 0$

Решая это квадратное неравенство (методом интервалов), получаем: $0 < x < 4$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_3(4x - x^2) > \log_3(3)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$4x - x^2 > 3$

$-x^2 + 4x - 3 > 0$

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Решением неравенства $(x - 1)(x - 3) < 0$ является интервал $1 < x < 3$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(0; 4) \cap (1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

3) $\log_3(3 - \frac{x}{2}) > \log_3(2x - 1)$

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительны, что приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 3 > \frac{x}{2} \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6 > x \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $\frac{1}{2} < x < 6$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$3 - \frac{x}{2} > 2x - 1$

$3 + 1 > 2x + \frac{x}{2}$

$4 > \frac{4x+x}{2}$

$4 > \frac{5x}{2}$

$8 > 5x$

$x < \frac{8}{5}$

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(\frac{1}{2}; 6) \cap (-\infty; \frac{8}{5})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{8}{5})$.

4) $\log_{0.8}(x^2 - 8) > \log_{0.8}(8)$

Найдем ОДЗ:

$x^2 - 8 > 0$

$x^2 > 8$

$|x| > \sqrt{8}$

$|x| > 2\sqrt{2}$

Это означает, что $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; \infty)$.

Теперь решим неравенство. Основание логарифма $0.8 < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 8 < 8$

$x^2 < 16$

$|x| < 4$

Это означает, что $-4 < x < 4$, или $x \in (-4; 4)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $((- \infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; \infty)) \cap (-4; 4)$.

Это дает два интервала: $(-4; -2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}; 4)$.

Ответ: $(-4; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 4)$.