Номер 55, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите логарифмические неравенства (55—63):

55. 1) $log_4(5 - 3x) > 1;$ 2) $log_2(6 - 5x) < 1;$

3) $log_{0.5}(1 + 2x) < -1;$ 4) $log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > -1.$

56. 1) $log_x(x-5) > 0;$ 2) $log(5-x) < 0.$

1) $\log_4(5 - 3x) > 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$5 - 3x > 0$

$-3x > -5$

$x < \frac{5}{3}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части:

$1 = \log_4(4^1) = \log_4(4)$

Неравенство принимает вид:

$\log_4(5 - 3x) > \log_4(4)$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$5 - 3x > 4$

$-3x > 4 - 5$

$-3x > -1$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{3}$

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением является пересечение двух условий: $x < \frac{5}{3}$ и $x < \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{1}{3} < \frac{5}{3}$, то пересечением этих интервалов будет $x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3})$

2) $\log_2(6 - 5x) < 1$

Найдем ОДЗ:

$6 - 5x > 0$

$-5x > -6$

$x < \frac{6}{5}$

Решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 2:

$1 = \log_2(2^1) = \log_2(2)$

Получаем неравенство:

$\log_2(6 - 5x) < \log_2(2)$

Основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$6 - 5x < 2$

$-5x < 2 - 6$

$-5x < -4$

Делим на -5, меняя знак неравенства:

$x > \frac{4}{5}$

Найдем пересечение решения $x > \frac{4}{5}$ и ОДЗ $x < \frac{6}{5}$.

Объединяя условия, получаем $\frac{4}{5} < x < \frac{6}{5}$.

Ответ: $(\frac{4}{5}; \frac{6}{5})$

3) $\log_{0.5}(1 + 2x) < -1$

Найдем ОДЗ:

$1 + 2x > 0$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

Решим неравенство. Представим -1 как логарифм по основанию 0.5:

$-1 = \log_{0.5}(0.5^{-1}) = \log_{0.5}((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{0.5}(2)$

Получаем неравенство:

$\log_{0.5}(1 + 2x) < \log_{0.5}(2)$

Так как основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$1 + 2x > 2$

$2x > 2 - 1$

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Найдем пересечение решения $x > \frac{1}{2}$ и ОДЗ $x > -\frac{1}{2}$.