Страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

52. 1) $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} > 0;$

2) $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x < 0;$

3) $3^{2x+1} > 4 - 3^x;$

4) $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 > 0.$

1) Исходное неравенство: $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^{1-2x} > 0$.

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней: $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3^1 \cdot 3^{-2x} > 0$, что равносильно $3 - 8 \cdot 3^{-x} - 3 \cdot (3^{-x})^2 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^{-x}$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство относительно $t$: $3 - 8t - 3t^2 > 0$.

Умножим обе части на $-1$ и сменим знак неравенства: $3t^2 + 8t - 3 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3t^2 + 8t - 3 = 0$.

Дискриминант $D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-8 - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$; $t_2 = \frac{-8 + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Решением неравенства $3t^2 + 8t - 3 < 0$ является интервал между корнями: $-3 < t < \frac{1}{3}$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{1}{3}$.

Вернемся к исходной переменной $x$: $0 < 3^{-x} < \frac{1}{3}$.

Неравенство $3^{-x} > 0$ выполняется для любого $x$. Решаем неравенство $3^{-x} < \frac{1}{3}$.

Представим $\frac{1}{3}$ как $3^{-1}$: $3^{-x} < 3^{-1}$.

Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к сравнению показателей знак неравенства сохраняется: $-x < -1$.

Умножив на $-1$, получаем $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $5 \cdot 4^x + 3 \cdot 10^x - 2 \cdot 25^x < 0$.

Заметим, что $4^x = (2^x)^2$, $25^x = (5^x)^2$ и $10^x = 2^x \cdot 5^x$. Неравенство является однородным: $5 \cdot (2^x)^2 + 3 \cdot 2^x \cdot 5^x - 2 \cdot (5^x)^2 < 0$.

Разделим обе части неравенства на $25^x = (5^x)^2$. Так как $25^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$5 \cdot \frac{4^x}{25^x} + 3 \cdot \frac{10^x}{25^x} - 2 < 0$

$5 \cdot \left(\left(\frac{2}{5}\right)^x\right)^2 + 3 \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^x - 2 < 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \left(\frac{2}{5}\right)^x$. Так как $t$ - показательная функция, $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $5t^2 + 3t - 2 < 0$.

Найдем корни уравнения $5t^2 + 3t - 2 = 0$.

Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 9 + 40 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-3 - \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{-10}{10} = -1$; $t_2 = \frac{-3 + \sqrt{49}}{2 \cdot 5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Решением неравенства $5t^2 + 3t - 2 < 0$ является интервал $(-1, \frac{2}{5})$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $0 < t < \frac{2}{5}$.

Вернемся к переменной $x$: $0 < \left(\frac{2}{5}\right)^x < \frac{2}{5}$.

Неравенство $\left(\frac{2}{5}\right)^x > 0$ верно для всех $x$. Решаем $\left(\frac{2}{5}\right)^x < \left(\frac{2}{5}\right)^1$.

Так как основание степени $\frac{2}{5} \in (0, 1)$, показательная функция убывающая. При переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $3^{2x+1} > 4 - 3^x$.

Преобразуем левую часть: $3 \cdot 3^{2x} > 4 - 3^x$.

Перенесем все члены в левую часть: $3 \cdot (3^x)^2 + 3^x - 4 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство: $3t^2 + t - 4 > 0$.

Найдем корни уравнения $3t^2 + t - 4 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$; $t_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

Решением неравенства $3t^2 + t - 4 > 0$ является объединение интервалов $(-\infty, -\frac{4}{3}) \cup (1, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем первый интервал. Остается $t > 1$.

Вернемся к переменной $x$: $3^x > 1$.

Так как $1 = 3^0$, получаем $3^x > 3^0$.

Основание степени $3 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Сравнивая показатели, получаем $x > 0$.

Ответ: $x \in (0, +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $8^x + 3 \cdot 4^x - 2^{x+2} - 12 > 0$.

Представим все слагаемые в виде степеней с основанием 2: $8^x = (2^x)^3$, $4^x = (2^x)^2$, $2^{x+2} = 4 \cdot 2^x$.

Подставим в неравенство: $(2^x)^3 + 3 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 12 > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, то $t > 0$.

Получаем кубическое неравенство: $t^3 + 3t^2 - 4t - 12 > 0$.

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$t^2(t + 3) - 4(t + 3) > 0$

$(t^2 - 4)(t + 3) > 0$

$(t - 2)(t + 2)(t + 3) > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Корни многочлена: $t_1=2$, $t_2=-2$, $t_3=-3$.

Интервалы, на которых неравенство выполняется: $(-3, -2) \cup (2, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, отбрасываем интервал $(-3, -2)$. Остается $t > 2$.

Вернемся к переменной $x$: $2^x > 2$.

Так как $2 = 2^1$, получаем $2^x > 2^1$.

Основание степени $2 > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Сравнивая показатели, получаем $x > 1$.

Ответ: $x \in (1, +\infty)$.

53. 1) $5^{\sin x} > \frac{1}{5};$

3) $4^{\sqrt{2}\cos(x + \frac{\pi}{4})} < \frac{1}{4};$

2) $7^{\cos x} < \frac{1}{7};$

4) $6^{\sin(x - \frac{\pi}{4})} > (\sqrt{6})^{\sqrt{6}}.$

1) Решим неравенство $5^{\sin x} > \frac{1}{5}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 5: $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $5^{\sin x} > 5^{-1}$.

Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция является возрастающей. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:

$\sin x > -1$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin x \le 1$.

Неравенство $\sin x > -1$ выполняется для всех значений $x$, при которых $\sin x$ не равен $-1$.

Найдем значения $x$, при которых $\sin x = -1$. Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, решение исходного неравенства — это все действительные числа, кроме указанных.

Ответ: $x \neq -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Решим неравенство $7^{\cos x} < \frac{1}{7}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 7: $\frac{1}{7} = 7^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $7^{\cos x} < 7^{-1}$.

Так как основание степени $7 > 1$, показательная функция является возрастающей. Перейдем к неравенству для показателей, сохранив знак:

$\cos x < -1$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos x \le 1$.

Не существует таких значений $x$, при которых $\cos x$ был бы строго меньше $-1$. Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).

3) Решим неравенство $4^{\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})} < \frac{1}{4}$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 4: $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Неравенство принимает вид: $4^{\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})} < 4^{-1}$.

Так как основание $4 > 1$, переходим к неравенству для показателей:

$\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4}) < -1$.

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$\cos(x+\frac{\pi}{4}) < -\frac{1}{\sqrt{2}}$, или $\cos(x+\frac{\pi}{4}) < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x+\frac{\pi}{4}$. Получим неравенство $\cos t < -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является интервал, где косинус меньше $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между углами $\frac{3\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$.

Таким образом, $\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{3\pi}{4} + 2\pi k < x+\frac{\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$.

Вычтем $\frac{\pi}{4}$ из всех частей неравенства:

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

4) Решим неравенство $6^{\sin(x-\frac{\pi}{4})} > (\sqrt{6})^{\sqrt{2}}$.

Преобразуем правую часть неравенства: $(\sqrt{6})^{\sqrt{2}} = (6^{\frac{1}{2}})^{\sqrt{2}} = 6^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Неравенство принимает вид: $6^{\sin(x-\frac{\pi}{4})} > 6^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Так как основание степени $6 > 1$, показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей:

$\sin(x-\frac{\pi}{4}) > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x-\frac{\pi}{4}$. Получим неравенство $\sin t > \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решением этого тригонометрического неравенства на единичной окружности является интервал, где синус больше $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это дуга между углами $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$.

Таким образом, $\frac{\pi}{4} + 2\pi k < t < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Вернемся к переменной $x$:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k < x-\frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$.

Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям неравенства:

$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{2\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{4\pi}{4} + 2\pi k$.

$\frac{\pi}{2} + 2\pi k < x < \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k), k \in \mathbb{Z}$.

54.
1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$;
2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2})$;
3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$;
4) $2^{2x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^{2x}$.

1) $7^x - 5^{x+2} > 2 \cdot 7^{x-1} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Сначала сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях неравенства. Перенесем все члены с основанием 7 в левую часть, а с основанием 5 – в правую:

$7^x - 2 \cdot 7^{x-1} > 5^{x+2} - 118 \cdot 5^{x-1}$

Теперь воспользуемся свойствами степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$ для упрощения выражений:

$7^x - 2 \cdot \frac{7^x}{7^1} > 5^x \cdot 5^2 - 118 \cdot \frac{5^x}{5^1}$

Вынесем общие множители $7^x$ и $5^x$ за скобки:

$7^x \cdot (1 - \frac{2}{7}) > 5^x \cdot (25 - \frac{118}{5})$

Вычислим значения в скобках:

$1 - \frac{2}{7} = \frac{7-2}{7} = \frac{5}{7}$

$25 - \frac{118}{5} = \frac{125-118}{5} = \frac{7}{5}$

Подставим полученные значения обратно в неравенство:

$7^x \cdot \frac{5}{7} > 5^x \cdot \frac{7}{5}$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится. Также перенесем числовые коэффициенты в правую часть:

$\frac{7^x}{5^x} > \frac{7/5}{5/7}$

$(\frac{7}{5})^x > \frac{7}{5} \cdot \frac{7}{5}$

$(\frac{7}{5})^x > (\frac{7}{5})^2$

Так как основание степени $\frac{7}{5} > 1$, показательная функция является возрастающей. Следовательно, для выполнения неравенства необходимо, чтобы показатель степени в левой части был больше показателя степени в правой части:

$x > 2$

Ответ: $x \in (2; +\infty)$.

2) $5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot (5^{x-1} - 3^{x-2})$

Раскроем скобки в правой части и сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями:

$5^x - 3^{x+1} > 2 \cdot 5^{x-1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

$5^x - 2 \cdot 5^{x-1} > 3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-2}$

Используя свойства степеней, вынесем за скобки $5^x$ и $3^x$:

$5^x \cdot (1 - 2 \cdot 5^{-1}) > 3^x \cdot (3^1 - 2 \cdot 3^{-2})$

$5^x \cdot (1 - \frac{2}{5}) > 3^x \cdot (3 - \frac{2}{9})$

Упростим выражения в скобках:

$1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$

$3 - \frac{2}{9} = \frac{27-2}{9} = \frac{25}{9}$

Неравенство принимает вид:

$5^x \cdot \frac{3}{5} > 3^x \cdot \frac{25}{9}$

Разделим обе части на $3^x$ (всегда положительно) и перенесем числовые множители:

$\frac{5^x}{3^x} > \frac{25/9}{3/5}$

$(\frac{5}{3})^x > \frac{25}{9} \cdot \frac{5}{3}$

Упростим правую часть, зная что $\frac{25}{9} = (\frac{5}{3})^2$:

$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^2 \cdot (\frac{5}{3})^1$

$(\frac{5}{3})^x > (\frac{5}{3})^3$

Основание степени $\frac{5}{3} > 1$, поэтому функция возрастающая. Сравниваем показатели:

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

3) $3^{x^2+2} - 5^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 3^{x^2-1}$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$3^{x^2+2} - 3^{x^2-1} > 5^{x^2+1} + 5^{x^2-1}$

Вынесем за скобки общие множители $3^{x^2}$ и $5^{x^2}$:

$3^{x^2} \cdot 3^2 - 3^{x^2} \cdot 3^{-1} > 5^{x^2} \cdot 5^1 + 5^{x^2} \cdot 5^{-1}$

$3^{x^2} \cdot (9 - \frac{1}{3}) > 5^{x^2} \cdot (5 + \frac{1}{5})$

Вычислим значения в скобках:

$9 - \frac{1}{3} = \frac{27-1}{3} = \frac{26}{3}$

$5 + \frac{1}{5} = \frac{25+1}{5} = \frac{26}{5}$

Подставим результаты в неравенство:

$3^{x^2} \cdot \frac{26}{3} > 5^{x^2} \cdot \frac{26}{5}$

Разделим обе части на 26:

$\frac{3^{x^2}}{3} > \frac{5^{x^2}}{5}$

Перегруппируем, чтобы переменные были с одной стороны:

$5 \cdot 3^{x^2} > 3 \cdot 5^{x^2}$

Разделим обе части на $5^{x^2}$ (положительно) и на 5 (положительно):

$\frac{3^{x^2}}{5^{x^2}} > \frac{3}{5}$

$(\frac{3}{5})^{x^2} > (\frac{3}{5})^1$

Так как основание степени $\frac{3}{5}$ находится в интервале $(0; 1)$, показательная функция является убывающей. Поэтому при переходе к сравнению показателей знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 < 1$

Решим это квадратичное неравенство:

$x^2 - 1 < 0$

$(x-1)(x+1) < 0$

Корнями уравнения $(x-1)(x+1) = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями вверх, которая принимает отрицательные значения между корнями.

$-1 < x < 1$

Ответ: $x \in (-1; 1)$.

4) $2^{2x+1} - 3^x > 3^{x-1} - 2^{2x}$

Сначала преобразуем выражения $2^{2x+1}$ и $2^{2x}$, приведя их к основанию 4:

$2^{2x} = (2^2)^x = 4^x$

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot 4^x$

Подставим это в исходное неравенство:

$2 \cdot 4^x - 3^x > 3^{x-1} - 4^x$

Сгруппируем члены с одинаковыми основаниями:

$2 \cdot 4^x + 4^x > 3^{x-1} + 3^x$

Вынесем общие множители за скобки:

$4^x \cdot (2 + 1) > 3^x \cdot (3^{-1} + 1)$

Упростим выражения в скобках:

$2 + 1 = 3$

$3^{-1} + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$

Неравенство принимает вид:

$4^x \cdot 3 > 3^x \cdot \frac{4}{3}$

Перегруппируем члены, чтобы разделить переменные и константы. Разделим обе части на $3^x$ (положительно) и на 3:

$\frac{4^x}{3^x} > \frac{4/3}{3}$

$(\frac{4}{3})^x > \frac{4}{9}$

Основание $\frac{4}{3} > 1$, поэтому показательная функция возрастающая. Чтобы решить неравенство, прологарифмируем обе части по основанию $\frac{4}{3}$. Знак неравенства сохранится:

$\log_{4/3}((\frac{4}{3})^x) > \log_{4/3}(\frac{4}{9})$

$x > \log_{4/3}(\frac{4}{9})$

Этот результат является точным решением неравенства.

Ответ: $x \in (\log_{4/3}(4/9); +\infty)$.

Решите логарифмические неравенства (55—63):

55. 1) $log_4(5 - 3x) > 1;$ 2) $log_2(6 - 5x) < 1;$

3) $log_{0.5}(1 + 2x) < -1;$ 4) $log_{\frac{1}{3}}(4x - 3) > -1.$

56. 1) $log_x(x-5) > 0;$ 2) $log(5-x) < 0.$

1) $\log_4(5 - 3x) > 1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$5 - 3x > 0$

$-3x > -5$

$x < \frac{5}{3}$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием, что и в левой части:

$1 = \log_4(4^1) = \log_4(4)$

Неравенство принимает вид:

$\log_4(5 - 3x) > \log_4(4)$

Так как основание логарифма $4 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$5 - 3x > 4$

$-3x > 4 - 5$

$-3x > -1$

При делении на отрицательное число (-3) знак неравенства меняется на противоположный:

$x < \frac{1}{3}$

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решением является пересечение двух условий: $x < \frac{5}{3}$ и $x < \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{1}{3} < \frac{5}{3}$, то пересечением этих интервалов будет $x < \frac{1}{3}$.

Ответ: $(-\infty; \frac{1}{3})$

2) $\log_2(6 - 5x) < 1$

Найдем ОДЗ:

$6 - 5x > 0$

$-5x > -6$

$x < \frac{6}{5}$

Решим неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 2:

$1 = \log_2(2^1) = \log_2(2)$

Получаем неравенство:

$\log_2(6 - 5x) < \log_2(2)$

Основание логарифма $2 > 1$, функция возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется:

$6 - 5x < 2$

$-5x < 2 - 6$

$-5x < -4$

Делим на -5, меняя знак неравенства:

$x > \frac{4}{5}$

Найдем пересечение решения $x > \frac{4}{5}$ и ОДЗ $x < \frac{6}{5}$.

Объединяя условия, получаем $\frac{4}{5} < x < \frac{6}{5}$.

Ответ: $(\frac{4}{5}; \frac{6}{5})$

3) $\log_{0.5}(1 + 2x) < -1$

Найдем ОДЗ:

$1 + 2x > 0$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

Решим неравенство. Представим -1 как логарифм по основанию 0.5:

$-1 = \log_{0.5}(0.5^{-1}) = \log_{0.5}((\frac{1}{2})^{-1}) = \log_{0.5}(2)$

Получаем неравенство:

$\log_{0.5}(1 + 2x) < \log_{0.5}(2)$

Так как основание логарифма $0.5$ находится в интервале $(0; 1)$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе к аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$1 + 2x > 2$

$2x > 2 - 1$

$2x > 1$

$x > \frac{1}{2}$

Найдем пересечение решения $x > \frac{1}{2}$ и ОДЗ $x > -\frac{1}{2}$.

56. 1) $log_{1/7} \frac{x-5}{x+4} > 0;$

2) $log_{0,15} \frac{5-x}{4+x} < 0;$

3) $log_4 \frac{x-3}{x} < 0;$

4) $log_{1/5} \frac{x}{x+2} < -1.$

1) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{7}} \frac{x-5}{x+4} > 0$.

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x-5}{x+4} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=5$ и $x=-4$. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала. Проверяя знак дроби на каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -4) \cup (5, \infty)$. Это наша ОДЗ.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием: $0 = \log_{\frac{1}{7}} 1$.

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{7}} \frac{x-5}{x+4} > \log_{\frac{1}{7}} 1$.

Основание логарифма $a = \frac{1}{7}$ удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Это означает, что логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$\frac{x-5}{x+4} < 1$.

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x-5}{x+4} - 1 < 0$

$\frac{x-5 - (x+4)}{x+4} < 0$

$\frac{-9}{x+4} < 0$.

Так как числитель (-9) является отрицательным числом, для того чтобы вся дробь была отрицательной, знаменатель должен быть положительным:

$x+4 > 0 \Rightarrow x > -4$.

На последнем шаге найдем пересечение полученного решения $x > -4$ с ОДЗ $x \in (-\infty, -4) \cup (5, \infty)$.

Пересечением этих двух множеств является интервал $(5, \infty)$.

Ответ: $x \in (5, \infty)$.

2) Дано логарифмическое неравенство $\log_{0.15} \frac{5-x}{4+x} < 0$.

Найдем ОДЗ: аргумент логарифма должен быть положителен:

$\frac{5-x}{4+x} > 0$.

Для удобства умножим числитель на -1 и изменим знак неравенства: $\frac{x-5}{4+x} < 0$. Нули числителя и знаменателя: $x=5$ и $x=-4$. Методом интервалов получаем $x \in (-4, 5)$. Это ОДЗ.

Решаем основное неравенство. Представим 0 как $\log_{0.15} 1$:

$\log_{0.15} \frac{5-x}{4+x} < \log_{0.15} 1$.

Основание $a = 0.15$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{5-x}{4+x} > 1$.

Решаем это неравенство:

$\frac{5-x}{4+x} - 1 > 0$

$\frac{5-x - (4+x)}{4+x} > 0$

$\frac{1-2x}{4+x} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=1/2$ и $x=-4$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-4, 1/2)$.

Сравниваем полученное решение с ОДЗ $x \in (-4, 5)$. Решение $x \in (-4, 1/2)$ полностью входит в ОДЗ, следовательно, является окончательным ответом.

Ответ: $x \in (-4, 1/2)$.

3) Дано логарифмическое неравенство $\log_4 \frac{x-3}{x} < 0$.

Найдем ОДЗ: $\frac{x-3}{x} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=3$ и $x=0$. Методом интервалов получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Решаем основное неравенство. Представим 0 как $\log_4 1$:

$\log_4 \frac{x-3}{x} < \log_4 1$.

Основание $a=4$ больше 1, поэтому логарифмическая функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{x-3}{x} < 1$.

Решаем это неравенство:

$\frac{x-3}{x} - 1 < 0$

$\frac{x-3-x}{x} < 0$

$\frac{-3}{x} < 0$.

Числитель отрицателен, значит, для выполнения неравенства знаменатель должен быть положителен: $x > 0$.

Найдем пересечение решения $x > 0$ с ОДЗ $x \in (-\infty, 0) \cup (3, \infty)$.

Пересечением является интервал $(3, \infty)$.

Ответ: $x \in (3, \infty)$.

4) Дано логарифмическое неравенство $\log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x+2} < -1$.

Найдем ОДЗ: $\frac{x}{x+2} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=0$ и $x=-2$. Методом интервалов получаем ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{5}$:

$-1 = -1 \cdot \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{5} = \log_{\frac{1}{5}} ((\frac{1}{5})^{-1}) = \log_{\frac{1}{5}} 5$.

Неравенство принимает вид: $\log_{\frac{1}{5}} \frac{x}{x+2} < \log_{\frac{1}{5}} 5$.

Основание $a = \frac{1}{5}$ меньше 1, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x}{x+2} > 5$.

Решаем полученное рациональное неравенство:

$\frac{x}{x+2} - 5 > 0$

$\frac{x - 5(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{x - 5x - 10}{x+2} > 0$

$\frac{-4x - 10}{x+2} > 0$.

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $\frac{4x+10}{x+2} < 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x = -10/4 = -2.5$ и $x=-2$. Методом интервалов находим решение: $x \in (-2.5, -2)$.

Сравниваем полученное решение с ОДЗ $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$. Решение $x \in (-2.5, -2)$ полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (-2.5, -2)$.

57. 1) $\log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < \log_{\frac{2}{3}}(2x - 9)$;

2) $\log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) > \log_{\frac{4}{3}}(x - 9)$;

3) $\log_5(x^2 - 1) > \log_5 3$;

4) $\log_{11}(x^2 + 7) < \log_{11}(6x - 1)$.

1) Исходное неравенство: $ \log_{\frac{2}{3}}(3x - 8) < \log_{\frac{2}{3}}(2x - 9) $.

Так как основание логарифма $ a = \frac{2}{3} $ удовлетворяет условию $ 0 < a < 1 $, то логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), где аргументы логарифмов строго больше нуля.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 3x - 8 > 0 \\ 2x - 9 > 0 \\ 3x - 8 > 2x - 9 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 3x - 8 > 0 \implies 3x > 8 \implies x > \frac{8}{3} $

2. $ 2x - 9 > 0 \implies 2x > 9 \implies x > \frac{9}{2} $

3. $ 3x - 8 > 2x - 9 \implies 3x - 2x > -9 + 8 \implies x > -1 $

Теперь найдем пересечение решений. Условие $ x > \frac{9}{2} $ (т.е. $ x > 4.5 $) является наиболее строгим, так как если $ x > 4.5 $, то условия $ x > \frac{8}{3} $ (т.е. $ x > 2.\overline{6} $) и $ x > -1 $ выполняются автоматически.

Следовательно, решение системы — $ x > \frac{9}{2} $.

Ответ: $ x \in (\frac{9}{2}; +\infty) $.

2) Исходное неравенство: $ \log_{\frac{4}{3}}(7x + 1) > \log_{\frac{4}{3}}(x - 9) $.

Так как основание логарифма $ a = \frac{4}{3} $ больше 1, то логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} 7x + 1 > 0 \\ x - 9 > 0 \\ 7x + 1 > x - 9 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $ 7x + 1 > 0 \implies 7x > -1 \implies x > -\frac{1}{7} $

2. $ x - 9 > 0 \implies x > 9 $

3. $ 7x + 1 > x - 9 \implies 6x > -10 \implies x > -\frac{10}{6} \implies x > -\frac{5}{3} $

Найдем пересечение решений. Условие $ x > 9 $ является самым строгим и включает в себя остальные два условия ($ 9 > -\frac{1}{7} $ и $ 9 > -\frac{5}{3} $).

Следовательно, решение системы — $ x > 9 $.

Ответ: $ x \in (9; +\infty) $.

3) Исходное неравенство: $ \log_{5}(x^2 - 1) > \log_{5}3 $.

Основание логарифма $ a = 5 > 1 $, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется. ОДЗ требует, чтобы аргумент логарифма был положителен.

Получаем систему:

$ \begin{cases} x^2 - 1 > 0 \\ x^2 - 1 > 3 \end{cases}$

Неравенство $ x^2 - 1 > 3 $ является более строгим, чем $ x^2 - 1 > 0 $, поэтому достаточно решить только его.

$ x^2 - 1 > 3 \implies x^2 > 4 $

Решением этого неравенства являются $ x < -2 $ или $ x > 2 $.

Ответ: $ x \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) $.

4) Исходное неравенство: $ \log_{11}(x^2 + 7) < \log_{11}(6x - 1) $.

Основание логарифма $ a = 11 > 1 $, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется. Учтем ОДЗ.

Составим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 7 > 0 \\ 6x - 1 > 0 \\ x^2 + 7 < 6x - 1 \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы:

1. $ x^2 + 7 > 0 $. Так как $ x^2 \ge 0 $ для любого действительного $ x $, то $ x^2 + 7 \ge 7 $, и это неравенство выполняется для всех $ x \in \mathbb{R} $.

2. $ 6x - 1 > 0 \implies 6x > 1 \implies x > \frac{1}{6} $

3. $ x^2 + 7 < 6x - 1 \implies x^2 - 6x + 8 < 0 $.Найдем корни уравнения $ x^2 - 6x + 8 = 0 $. По теореме Виета корни $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 4 $.Так как парабола $ y = x^2 - 6x + 8 $ ветвями вверх, неравенство $ x^2 - 6x + 8 < 0 $ выполняется между корнями, то есть $ 2 < x < 4 $.

Теперь найдем пересечение решений $ x > \frac{1}{6} $ и $ 2 < x < 4 $. Интервал $ (2; 4) $ полностью удовлетворяет условию $ x > \frac{1}{6} $.

Следовательно, решением является интервал $ (2; 4) $.

Ответ: $ x \in (2; 4) $.

58. 1) $\log_{2,7}(x - 2) + \log_{2,7}x > \log_{2,7}(x + 4);$

2) $\log_{\frac{1}{4}}x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8);$

3) $\log_2(x - 1) + \log_2x < 1;$

4) $\log_3x + \log_3(x - 8) > 2.$

1) $\log_{2,7}(x - 2) + \log_{2,7}x > \log_{2,7}(x + 4)$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы всех логарифмов должны быть строго больше нуля:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \\ x > -4 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

Используем свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ для левой части неравенства:

$\log_{2,7}((x - 2)x) > \log_{2,7}(x + 4)$

$\log_{2,7}(x^2 - 2x) > \log_{2,7}(x + 4)$

Так как основание логарифма $2,7 > 1$, то функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 2x > x + 4$

$x^2 - 3x - 4 > 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $x^2 - 3x - 4 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 2$).

Пересечением интервалов $(-\infty; -1) \cup (4; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(4; +\infty)$.

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

2) $\log_{\frac{1}{4}}x + \log_{\frac{1}{4}}(x - 6) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 6 > 0 \\ 3x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 6 \\ x > \frac{8}{3} \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 6$.

Применим свойство суммы логарифмов:

$\log_{\frac{1}{4}}(x(x - 6)) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

$\log_{\frac{1}{4}}(x^2 - 6x) < \log_{\frac{1}{4}}(3x - 8)$

Так как основание логарифма $0 < \frac{1}{4} < 1$, то функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 6x > 3x - 8$

$x^2 - 9x + 8 > 0$

Решим квадратное уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$. Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 8$.

Неравенство $x^2 - 9x + 8 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; 1) \cup (8; +\infty)$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ ($x > 6$).

Пересечением интервалов $(-\infty; 1) \cup (8; +\infty)$ и $(6; +\infty)$ является интервал $(8; +\infty)$.

Ответ: $x \in (8; +\infty)$.

3) $\log_2(x - 1) + \log_2 x < 1$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 1$.

Преобразуем неравенство, представив правую часть в виде логарифма с основанием 2: $1 = \log_2 2$.

$\log_2((x - 1)x) < \log_2 2$

$\log_2(x^2 - x) < \log_2 2$

Так как основание логарифма $2 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - x < 2$

$x^2 - x - 2 < 0$

Решим уравнение $x^2 - x - 2 = 0$. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.

Парабола с ветвями вверх, значит, неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется между корнями: $x \in (-1; 2)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ ($x > 1$).

Пересечением интервалов $(-1; 2)$ и $(1; +\infty)$ является интервал $(1; 2)$.

Ответ: $x \in (1; 2)$.

4) $\log_3 x + \log_3(x - 8) > 2$

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 8 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 8 \end{cases}$

ОДЗ: $x > 8$.

Преобразуем неравенство, представив 2 как логарифм по основанию 3: $2 = \log_3(3^2) = \log_3 9$.

$\log_3(x(x - 8)) > \log_3 9$

$\log_3(x^2 - 8x) > \log_3 9$

Так как основание логарифма $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 8x > 9$

$x^2 - 8x - 9 > 0$

Решим уравнение $x^2 - 8x - 9 = 0$. Корни: $x_1 = 9$, $x_2 = -1$.

Неравенство $x^2 - 8x - 9 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ ($x > 8$).

Пересечением интервалов $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$ и $(8; +\infty)$ является интервал $(9; +\infty)$.

Ответ: $x \in (9; +\infty)$.

59. 1) $\log_{1/6}\left(8 - \frac{4}{5}x\right) > -2;$

2) $\log_3(4x - x^2) > 1;$

3) $\log_3\left(3 - \frac{x}{2}\right) > \log_3(2x - 1);$

4) $\log_{0.8}(x^2 - 8) > \log_{0.8} 8.$

1) $\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > -2$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$8 - \frac{4}{5}x > 0$

$8 > \frac{4}{5}x$

$40 > 4x$

$x < 10$

Теперь решим само неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием $\frac{1}{6}$:

$-2 = -2 \cdot \log_{\frac{1}{6}}(\frac{1}{6}) = \log_{\frac{1}{6}}((\frac{1}{6})^{-2}) = \log_{\frac{1}{6}}(6^2) = \log_{\frac{1}{6}}(36)$

Неравенство принимает вид:

$\log_{\frac{1}{6}}(8 - \frac{4}{5}x) > \log_{\frac{1}{6}}(36)$

Так как основание логарифма $\frac{1}{6} < 1$, логарифмическая функция является убывающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:

$8 - \frac{4}{5}x < 36$

$-\frac{4}{5}x < 36 - 8$

$-\frac{4}{5}x < 28$

Умножим обе части на $-\frac{5}{4}$ и снова сменим знак неравенства:

$x > 28 \cdot (-\frac{5}{4})$

$x > -35$

Объединим полученное решение с ОДЗ. Решением является пересечение интервалов $x < 10$ и $x > -35$.

$-35 < x < 10$

Ответ: $(-35; 10)$.

2) $\log_3(4x - x^2) > 1$

Найдем ОДЗ:

$4x - x^2 > 0$

$x(4 - x) > 0$

Решая это квадратное неравенство (методом интервалов), получаем: $0 < x < 4$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с основанием 3:

$1 = \log_3(3^1) = \log_3(3)$

Неравенство принимает вид:

$\log_3(4x - x^2) > \log_3(3)$

Так как основание логарифма $3 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$4x - x^2 > 3$

$-x^2 + 4x - 3 > 0$

$x^2 - 4x + 3 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 3$.

Решением неравенства $(x - 1)(x - 3) < 0$ является интервал $1 < x < 3$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(0; 4) \cap (1; 3)$.

Ответ: $(1; 3)$.

3) $\log_3(3 - \frac{x}{2}) > \log_3(2x - 1)$

Найдем ОДЗ. Аргументы обоих логарифмов должны быть положительны, что приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} 3 - \frac{x}{2} > 0 \\ 2x - 1 > 0 \end{cases}$

Решаем систему:

$\begin{cases} 3 > \frac{x}{2} \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 6 > x \\ x > \frac{1}{2} \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $\frac{1}{2} < x < 6$.

Теперь решим основное неравенство. Основание логарифма $3 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется:

$3 - \frac{x}{2} > 2x - 1$

$3 + 1 > 2x + \frac{x}{2}$

$4 > \frac{4x+x}{2}$

$4 > \frac{5x}{2}$

$8 > 5x$

$x < \frac{8}{5}$

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $(\frac{1}{2}; 6) \cap (-\infty; \frac{8}{5})$.

Ответ: $(\frac{1}{2}; \frac{8}{5})$.

4) $\log_{0.8}(x^2 - 8) > \log_{0.8}(8)$

Найдем ОДЗ:

$x^2 - 8 > 0$

$x^2 > 8$

$|x| > \sqrt{8}$

$|x| > 2\sqrt{2}$

Это означает, что $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; \infty)$.

Теперь решим неравенство. Основание логарифма $0.8 < 1$, поэтому функция убывающая, и знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 8 < 8$

$x^2 < 16$

$|x| < 4$

Это означает, что $-4 < x < 4$, или $x \in (-4; 4)$.

Найдем пересечение решения с ОДЗ: $((- \infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; \infty)) \cap (-4; 4)$.

Это дает два интервала: $(-4; -2\sqrt{2})$ и $(2\sqrt{2}; 4)$.

Ответ: $(-4; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; 4)$.

60. 1) $\frac{\lg x}{x - 3} > 0;$

2) $\frac{3 - 2x}{\log_{5} x} > 0;$

3) $\frac{\log_{4} x}{x - 4} < 0;$

4) $\frac{x + 1}{\log_{2}(x - 4)} > 0.$

1) Решим неравенство $ \frac{\lg x}{x-3} > 0 $.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

1. $ \begin{cases} \lg x > 0 \\ x-3 > 0 \end{cases} $ или 2. $ \begin{cases} \lg x < 0 \\ x-3 < 0 \end{cases} $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x > 10^0 \\ x > 3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > 3 \end{cases} \implies x > 3 $.

Рассмотрим вторую систему. При решении логарифмического неравенства учтем область определения логарифма ($ x > 0 $):

$ \begin{cases} 0 < x < 10^0 \\ x < 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x < 3 \end{cases} \implies 0 < x < 1 $.

Объединяя решения обеих систем, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ (0; 1) \cup (3; +\infty) $.

2) Решим неравенство $ \frac{3-2x}{\log_5 x} > 0 $.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем с учетом области определения логарифма ($ x > 0 $ и $ \log_5 x \ne 0 \implies x \ne 1 $):

1. $ \begin{cases} 3-2x > 0 \\ \log_5 x > 0 \end{cases} $ или 2. $ \begin{cases} 3-2x < 0 \\ \log_5 x < 0 \end{cases} $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} 2x < 3 \\ x > 5^0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 1.5 \\ x > 1 \end{cases} \implies 1 < x < 1.5 $.

Рассмотрим вторую систему (учитывая ОДЗ $ x>0 $):

$ \begin{cases} 2x > 3 \\ 0 < x < 5^0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1.5 \\ 0 < x < 1 \end{cases} $. Данная система не имеет решений, так как промежутки не пересекаются.

Таким образом, решением является только интервал, полученный из первой системы.

Ответ: $ (1; 1.5) $.

3) Решим неравенство $ \frac{\log_4 x}{x-4} < 0 $.

Неравенство означает, что числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Это равносильно совокупности двух систем:

1. $ \begin{cases} \log_4 x > 0 \\ x-4 < 0 \end{cases} $ или 2. $ \begin{cases} \log_4 x < 0 \\ x-4 > 0 \end{cases} $

Рассмотрим первую систему:

$ \begin{cases} x > 4^0 \\ x < 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < 4 \end{cases} \implies 1 < x < 4 $.

Рассмотрим вторую систему (учитывая ОДЗ $ x > 0 $):

$ \begin{cases} 0 < x < 4^0 \\ x > 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 < x < 1 \\ x > 4 \end{cases} $. Эта система не имеет решений.

Следовательно, решением неравенства является интервал, полученный из первой системы.

Ответ: $ (1; 4) $.

4) Решим неравенство $ \frac{x+1}{\log_2(x-4)} > 0 $.

Сначала найдем область определения (ОДЗ):

$ \begin{cases} x-4 > 0 \\ \log_2(x-4) \ne 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x-4 \ne 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 4 \\ x \ne 5 \end{cases} $.

ОДЗ: $ x \in (4; 5) \cup (5; +\infty) $.

На всей области определения $ x > 4 $, поэтому числитель $ x+1 $ всегда положителен ($ 4+1=5>0 $).

Чтобы вся дробь была положительной, знаменатель также должен быть положителен:

$ \log_2(x-4) > 0 $

Представим 0 как логарифм по основанию 2:

$ \log_2(x-4) > \log_2(1) $

Так как основание логарифма $ 2 > 1 $, знак неравенства сохраняется:

$ x-4 > 1 $

$ x > 5 $

Полученное решение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ (5; +\infty) $.

61. 1) $ \frac{x^2 + 3x}{\log_2(x+1)} < 0; $

2) $ \log_{12} \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0; $

3) $ \frac{2x^2 - 8}{\log_5 x} > 0; $

4) $ \frac{\log_6(x+2)}{x^3} < 0. $

1) Решим неравенство $\frac{x^2 + 3x}{\log_2(x + 1)} < 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ).

Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $\log_2(x + 1) \neq 0 \implies x + 1 \neq 2^0 \implies x + 1 \neq 1 \implies x \neq 0$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Применим метод рационализации. Знак выражения $\log_a f(x)$ на его ОДЗ совпадает со знаком выражения $(a-1)(f(x)-1)$.

В нашем случае, знак $\log_2(x+1)$ совпадает со знаком $(2-1)((x+1)-1) = x$.

Исходное неравенство на ОДЗ равносильно неравенству: $\frac{x^2 + 3x}{x} < 0$.

$\frac{x(x + 3)}{x} < 0$.

Так как по ОДЗ $x \neq 0$, мы можем сократить дробь на $x$: $x + 3 < 0 \implies x < -3$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ: $x < -3$ и $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$.

Пересечение этих множеств пусто. Следовательно, у неравенства нет решений.

Проверка: На ОДЗ $x \in (-1, 0) \cup (0, +\infty)$ множитель $(x+3)$ всегда положителен. Значит, знак числителя $x(x+3)$ совпадает со знаком $x$. Знак знаменателя $\log_2(x+1)$ также совпадает со знаком $x$ (если $-1 < x < 0$, то $0 < x+1 < 1$ и логарифм отрицателен; если $x > 0$, то $x+1 > 1$ и логарифм положителен). Таким образом, на всей ОДЗ дробь представляет собой отношение двух выражений с одинаковыми знаками, то есть она всегда положительна. Неравенство $\frac{...}{...} < 0$ решений не имеет.

Ответ: $\emptyset$ (решений нет).

2) Решим неравенство $\log_{12} \frac{x^2 + x}{x + 4} > 0$.

Найдем ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть положителен: $\frac{x^2 + x}{x + 4} > 0 \implies \frac{x(x+1)}{x+4} > 0$.

Методом интервалов находим, что это выполняется при $x \in (-4, -1) \cup (0, +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Так как основание логарифма $12 > 1$, логарифм больше нуля, когда его аргумент больше $12^0=1$. $\frac{x^2 + x}{x + 4} > 1$.

$\frac{x^2 + x}{x + 4} - 1 > 0$.

$\frac{x^2 + x - (x+4)}{x + 4} > 0$.

$\frac{x^2 - 4}{x + 4} > 0$.

$\frac{(x-2)(x+2)}{x+4} > 0$.

Решаем это неравенство методом интервалов. Корни числителя: $x=2, x=-2$. Корень знаменателя: $x=-4$.

На числовой оси отмечаем точки -4, -2, 2. Они разбивают ось на интервалы $(-\infty, -4)$, $(-4, -2)$, $(-2, 2)$, $(2, +\infty)$.

Проверяя знаки на интервалах, получаем решение: $x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)$.

Теперь найдем пересечение этого решения с ОДЗ: $((-4, -2) \cup (2, +\infty)) \cap ((-4, -1) \cup (0, +\infty))$.

Пересечение дает $x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (2, +\infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{2x^2 - 8}{\log_5 x} > 0$.

Найдем ОДЗ:

$x > 0$ (аргумент логарифма).

$\log_5 x \neq 0 \implies x \neq 1$ (знаменатель не равен нулю).

ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Неравенство $\frac{A}{B} > 0$ означает, что $A$ и $B$ имеют одинаковые знаки. Применим метод рационализации.

Знак $\log_5 x$ совпадает со знаком $(5-1)(x-1)$, то есть со знаком $(x-1)$.

Неравенство на ОДЗ равносильно: $\frac{2x^2 - 8}{x - 1} > 0$.

$\frac{2(x^2 - 4)}{x - 1} > 0$.

$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1} > 0$.

Решаем методом интервалов. Корни: $x=2, x=-2, x=1$. Интервалы: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$, $(1, 2)$, $(2, +\infty)$.

Проверяя знаки, получаем решение: $x \in (-2, 1) \cup (2, +\infty)$.

Найдем пересечение с ОДЗ $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

$((-2, 1) \cup (2, +\infty)) \cap ((0, 1) \cup (1, +\infty)) = (0, 1) \cup (2, +\infty)$.

Ответ: $x \in (0, 1) \cup (2, +\infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{\log_6(x + 2)}{x^3} < 0$.

Найдем ОДЗ:

$x+2 > 0 \implies x > -2$.

$x^3 \neq 0 \implies x \neq 0$.

ОДЗ: $x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Неравенство $\frac{A}{B} < 0$ означает, что $A$ и $B$ имеют разные знаки. Применим метод рационализации.

Знак $\log_6(x+2)$ совпадает со знаком $(6-1)((x+2)-1)$, то есть со знаком $(x+1)$.

Неравенство на ОДЗ равносильно: $\frac{x+1}{x^3} < 0$.

Решаем методом интервалов. Корни числителя: $x=-1$. Корень знаменателя: $x=0$. Интервалы: $(-\infty, -1)$, $(-1, 0)$, $(0, +\infty)$.

Проверяя знаки, получаем, что выражение отрицательно на интервале $(-1, 0)$.

Решение: $x \in (-1, 0)$.

Это решение полностью входит в ОДЗ $x \in (-2, 0) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-1, 0)$.

62. 1) $\log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 + 3}{x + 3} < -1;$

2) $\log_2 \frac{x^2 - 4}{x + 10} > 1;$

3) $\log_3 x + \log_3 (x - 1) > \log_3 x + 1;$

4) $\log_{0,1} (x - 2) + 1 < \log_{0,1} 0,3 - \log_{0,1} x.$

1) Исходное неравенство: $log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 + 3}{x + 3} < -1$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$\frac{x^2 + 3}{x + 3} > 0$.

Так как числитель $x^2 + 3$ всегда положителен при любом действительном $x$ (поскольку $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 3 \ge 3$), знак дроби определяется знаком знаменателя.

Следовательно, $x + 3 > 0$, откуда $x > -3$.

ОДЗ: $x \in (-3; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием:

$-1 = log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^{-1}) = log_{\frac{1}{2}} 2$.

Неравенство принимает вид:

$log_{\frac{1}{2}} \frac{x^2 + 3}{x + 3} < log_{\frac{1}{2}} 2$.

Так как основание логарифма $\frac{1}{2}$ меньше 1, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства меняется на противоположный:

$\frac{x^2 + 3}{x + 3} > 2$.

Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{x^2 + 3}{x + 3} - 2 > 0 \implies \frac{x^2 + 3 - 2(x + 3)}{x + 3} > 0 \implies \frac{x^2 + 3 - 2x - 6}{x + 3} > 0 \implies \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 3} > 0$.

Найдем корни числителя $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$. Разложим числитель на множители:

$\frac{(x - 3)(x + 1)}{x + 3} > 0$.

Решим это неравенство методом интервалов. Отметим на числовой прямой точки, в которых числитель или знаменатель равны нулю: -3, -1, 3. Эти точки разбивают прямую на четыре интервала. Определим знак выражения на каждом интервале:

При $x > 3$, выражение положительно.

При $-1 < x < 3$, выражение отрицательно.

При $-3 < x < -1$, выражение положительно.

При $x < -3$, выражение отрицательно.

Решением неравенства является объединение интервалов, где выражение положительно: $(-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Совместим полученное решение с ОДЗ ($x > -3$). Пересечение множеств $(-3; -1) \cup (3; +\infty)$ и $(-3; +\infty)$ есть $(-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-3; -1) \cup (3; +\infty)$.

2) Исходное неравенство: $log_2 \frac{x^2 - 4}{x + 10} > 1$.

Найдем ОДЗ: $\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 10} > 0$.

Методом интервалов с критическими точками -10, -2, 2 находим, что выражение положительно при $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$. Это и есть ОДЗ.

Теперь решаем неравенство. Представим 1 как логарифм по основанию 2: $1 = log_2 2$.

$log_2 \frac{x^2 - 4}{x + 10} > log_2 2$.

Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства при переходе к аргументам сохраняется:

$\frac{x^2 - 4}{x + 10} > 2$.

$\frac{x^2 - 4}{x + 10} - 2 > 0 \implies \frac{x^2 - 4 - 2(x + 10)}{x + 10} > 0 \implies \frac{x^2 - 2x - 24}{x + 10} > 0$.

Корни числителя $x^2 - 2x - 24 = 0$ по теореме Виета равны $x_1 = 6$ и $x_2 = -4$.

$\frac{(x - 6)(x + 4)}{x + 10} > 0$.

Методом интервалов с точками -10, -4, 6 получаем решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ $x \in (-10; -2) \cup (2; +\infty)$.

Итоговое решение: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-10; -4) \cup (6; +\infty)$.

3) Исходное неравенство: $log_3 x + log_3 (x - 1) > log_3 x + 1$.

Найдем ОДЗ. Аргументы всех логарифмов должны быть положительны:

$\begin{cases} x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1$.

ОДЗ: $x \in (1; +\infty)$.

Упростим исходное неравенство, вычтя $log_3 x$ из обеих частей (это возможно, так как на ОДЗ $log_3 x$ определен):

$log_3 (x - 1) > 1$.

Представим 1 как логарифм по основанию 3: $1 = log_3 3$.

$log_3 (x - 1) > log_3 3$.

Основание $3 > 1$, функция возрастающая, следовательно, знак неравенства сохраняется:

$x - 1 > 3 \implies x > 4$.

Решение $x > 4$ полностью удовлетворяет ОДЗ ($x > 1$).

Ответ: $x \in (4; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $log_{0,1} (x - 2) + 1 < log_{0,1} 0,3 - log_{0,1} x$.

Найдем ОДЗ из условий существования логарифмов:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x > 0 \end{cases} \implies x > 2$.

ОДЗ: $x \in (2; +\infty)$.

Сгруппируем слагаемые с логарифмами в левой части, а константы — в правой:

$log_{0,1} (x - 2) + log_{0,1} x < log_{0,1} 0,3 - 1$.

Применим свойства логарифмов. Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Представим $1$ как $log_{0,1} 0,1$.

$log_{0,1} (x(x - 2)) < log_{0,1} 0,3 - log_{0,1} 0,1$.

Разность логарифмов равна логарифму частного:

$log_{0,1} (x^2 - 2x) < log_{0,1} \frac{0,3}{0,1}$.

$log_{0,1} (x^2 - 2x) < log_{0,1} 3$.

Основание логарифма $0,1 < 1$, функция убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 2x > 3$.

$x^2 - 2x - 3 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни равны $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Разложим на множители: $(x - 3)(x + 1) > 0$.

Решением этого неравенства является объединение интервалов $x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ ($x > 2$).

Пересечением множеств $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$ и $(2; +\infty)$ является интервал $(3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.