Страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. 1) $25^{2.5} - \left(\frac{1}{4}\right)^{-1.5} + \left(\frac{5}{3}\right)^{2.7} \cdot (0,6)^{2.7};$

2) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-1.5} + 8^3 - \left(\frac{2}{7}\right)^6 \cdot \left(3\frac{1}{2}\right)^6;$

3) $16^{1.5} - \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{4}{3}} + \left(\frac{2}{3}\right)^{0.19} \cdot (1,5)^{0.19};$

4) $81^{0.25} + \left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{2}{5}} - (0,15)^{-0.35} \cdot \left(6\frac{2}{3}\right)^{-0.35};$

5) $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^6}{4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}} \cdot 4\left(4^{\frac{1}{3}}\right)^4;$

6) $\frac{25^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2}{125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2}} \cdot \left(25^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}.$

1)

Для решения данного выражения, вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.

1. Вычислим $25^{2.5}$:

$25^{2.5} = 25^{5/2} = (5^2)^{5/2} = 5^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 5^5 = 3125$.

2. Вычислим $(\frac{1}{4})^{-1.5}$:

$(\frac{1}{4})^{-1.5} = (\frac{1}{4})^{-3/2} = 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

3. Вычислим $(\frac{5}{3})^{2.7} \cdot (0.6)^{2.7}$. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$(\frac{5}{3})^{2.7} \cdot (\frac{3}{5})^{2.7} = (\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5})^{2.7} = 1^{2.7} = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$3125 - 8 + 1 = 3118$.

Ответ: $3118$

2)

Решим выражение по частям.

1. Вычислим $(\frac{1}{9})^{-1.5}$:

$(\frac{1}{9})^{-1.5} = (\frac{1}{9})^{-3/2} = 9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$.

2. Вычислим $8^{\frac{4}{3}}$:

$8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16$.

3. Вычислим $(\frac{2}{7})^6 \cdot (3\frac{1}{2})^6$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

$(\frac{2}{7})^6 \cdot (\frac{7}{2})^6 = (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2})^6 = 1^6 = 1$.

4. Соберем все части вместе:

$27 + 16 - 1 = 43 - 1 = 42$.

Ответ: $42$

3)

Решим выражение по частям.

1. Вычислим $16^{1.5}$:

$16^{1.5} = 16^{3/2} = (4^2)^{3/2} = 4^3 = 64$.

2. Вычислим $(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$:

$(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^4 = 81$.

3. Вычислим $(\frac{2}{3})^{0.19} \cdot (1.5)^{0.19}$. Преобразуем $1.5 = \frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^{0.19} \cdot (\frac{3}{2})^{0.19} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{0.19} = 1^{0.19} = 1$.

4. Подставим значения в выражение:

$64 - 81 + 1 = -17 + 1 = -16$.

Ответ: $-16$

4)

Решим выражение по частям.

1. Вычислим $81^{0.25}$:

$81^{0.25} = 81^{1/4} = (3^4)^{1/4} = 3$.

2. Вычислим $(\frac{1}{32})^{-\frac{2}{5}}$:

$(\frac{1}{32})^{-\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

3. Вычислим $(0.15)^{-0.35} \cdot (6\frac{2}{3})^{-0.35}$. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число: $0.15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ и $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.

$(\frac{3}{20})^{-0.35} \cdot (\frac{20}{3})^{-0.35} = (\frac{3}{20} \cdot \frac{20}{3})^{-0.35} = 1^{-0.35} = 1$.

4. Соберем все части вместе:

$3 + 4 - 1 = 6$.

Ответ: $6$

5)

Для упрощения выражения представим все основания степеней через число 4.

$16 = 4^2$, $64 = 4^3$, $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Исходное выражение: $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6}{4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}} \cdot 4(4^{\frac{1}{3}})^4$.

1. Рассмотрим знаменатель дроби:

$4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^2 = 4^{\frac{1}{3} + 2} = 4^{\frac{7}{3}}$.

2. Рассмотрим второй множитель:

$4(4^{\frac{1}{3}})^4 = 4^1 \cdot 4^{\frac{1}{3} \cdot 4} = 4^1 \cdot 4^{\frac{4}{3}} = 4^{1 + \frac{4}{3}} = 4^{\frac{7}{3}}$.

3. Заметим, что знаменатель дроби равен второму множителю. Таким образом, они сокращаются:

$\frac{\text{числитель}}{\cancel{4^{\frac{7}{3}}}} \cdot \cancel{4^{\frac{7}{3}}} = \text{числитель}$.

4. Вычислим значение числителя:

$16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6 = (4^2)^{\frac{2}{3}} \cdot (4^{-1})^6 = 4^{2 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 4^{-1 \cdot 6} = 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{-6} = 4^{\frac{4}{3} - 6} = 4^{\frac{4-18}{3}} = 4^{-\frac{14}{3}}$.

Ответ: $4^{-\frac{14}{3}}$

6)

Для упрощения выражения представим все основания степеней через число 5.

$25 = 5^2$, $125 = 5^3$, $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Исходное выражение: $\frac{25^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{5})^2}{125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2}} \cdot (25^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$.

1. Упростим дробь.

Числитель: $25^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{5})^2 = (5^2)^{\frac{3}{2}} \cdot (5^{-1})^2 = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} \cdot 5^{-2} = 5^3 \cdot 5^{-2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

Знаменатель: $125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = (5^3)^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = 5^2 \cdot 5^{-2} = 5^{2-2} = 5^0 = 1$.

Значение дроби: $\frac{5}{1} = 5$.

2. Упростим второй множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(25^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 25^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 5^{-1}$.

3. Перемножим полученные значения:

$5 \cdot 5^{-1} = 5^{1-1} = 5^0 = 1$.

Ответ: $1$

10. 1) $log_{27} 3 - log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + log_{2.5} 0.4;$

2) $log_{\sqrt[3]{36}} \frac{1}{6} - log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} - log_{0.2} 5;$

3) $9^{\frac{3}{2}} - log_{\frac{1}{5}} 25;$

4) $log_{\sqrt{3}} 27 - log_{1.5} \frac{2}{3} - log_8 4;$

5) $log_3 \frac{1}{27} - log_4 32;$

6) $625^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} log_2 4 \cdot 36^{log_6 2}.$

1)

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности. Мы будем использовать свойства логарифмов: $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$, $log_a b^n = n \cdot log_a b$ и $log_a a = 1$.

Первый член: $log_{27} 3$. Так как основание $27 = 3^3$, то $log_{27} 3 = log_{3^3} 3 = \frac{1}{3} log_3 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Второй член: $log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5}$. Основание $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$, а аргумент $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Следовательно, $log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} = log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{-1} = \frac{-1}{1/2} log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$.

Третий член: $log_{2,5} 0,4$. Представим основание и аргумент в виде дробей: $2,5 = \frac{5}{2}$ и $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Заметим, что $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$. Тогда $log_{2,5} 0,4 = log_{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2})^{-1} = -1$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение: $log_{27} 3 - log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + log_{2,5} 0,4 = \frac{1}{3} - (-2) + (-1) = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2)

Вычислим значение каждого члена выражения поочередно.

Первый член: $log_{\sqrt[6]{36}} \frac{1}{36}$. Упростим основание: $\sqrt[6]{36} = (36)^{\frac{1}{6}} = (6^2)^{\frac{1}{6}} = 6^{\frac{2}{6}} = 6^{\frac{1}{3}}$. Упростим аргумент: $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$. Тогда логарифм равен $log_{6^{\frac{1}{3}}} 6^{-2} = \frac{-2}{1/3} log_6 6 = -6$.

Второй член: $log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2}$. Основание $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, аргумент $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^{-1} = \frac{-1}{1/2} log_2 2 = -2$.

Третий член: $log_{0,2} 5$. Основание $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Аргумент $5 = 5^1$. Тогда $log_{5^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} log_5 5 = -1$.

Подставляем найденные значения в выражение: $-6 - (-2) - (-1) = -6 + 2 + 1 = -3$.

Ответ: $-3$

3)

Вычислим каждую часть выражения отдельно.

Первая часть: $9^{\frac{3}{2}}$. Это можно вычислить как $(3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

Вторая часть: $log_{\frac{1}{5}} 25$. Основание $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, аргумент $25 = 5^2$. Тогда $log_{5^{-1}} 5^2 = \frac{2}{-1} log_5 5 = -2$.

Теперь найдем разность: $27 - (-2) = 27 + 2 = 29$.

Ответ: $29$

4)

Вычислим каждый логарифм в выражении.

Первый член: $log_{\sqrt{3}} 27$. Основание $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, аргумент $27 = 3^3$. Таким образом, $log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^3 = \frac{3}{1/2} log_3 3 = 6$.

Второй член: $log_{1,5} \frac{2}{3}$. Основание $1,5 = \frac{3}{2}$. Аргумент $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$. Следовательно, $log_{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2})^{-1} = -1$.

Третий член: $log_8 4$. Приведем основание и аргумент к основанию 2: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Тогда $log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3} log_2 2 = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в исходное выражение: $6 - (-1) - \frac{2}{3} = 7 - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} - \frac{2}{3} = \frac{19}{3}$.

Ответ: $\frac{19}{3}$

5)

Вычислим значение каждого логарифма.

Первый член: $log_3 \frac{1}{27}$. Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$, то $log_3 3^{-3} = -3 \cdot log_3 3 = -3$.

Второй член: $log_4 32$. Приведем основание и аргумент к степеням одного числа, например 2. Основание $4=2^2$, аргумент $32=2^5$. Тогда $log_4 32 = log_{2^2} 2^5 = \frac{5}{2} log_2 2 = \frac{5}{2}$.

Вычисляем разность: $-3 - \frac{5}{2} = -\frac{6}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{11}{2}$.

Ответ: $-\frac{11}{2}$

6)

Решим выражение, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем вычитание).

Вычислим первый член: $625^{\frac{1}{4}}$. Поскольку $625 = 5^4$, то $625^{\frac{1}{4}} = (5^4)^{\frac{1}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 5$.

Далее вычислим произведение $(\frac{1}{4} log_2 4) \cdot (36^{log_6 2})$.

Первый множитель: $\frac{1}{4} log_2 4 = \frac{1}{4} log_2 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Второй множитель: $36^{log_6 2}$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$. $36^{log_6 2} = (6^2)^{log_6 2} = 6^{2 \cdot log_6 2}$. Используя свойство логарифма $k \cdot log_a b = log_a b^k$, получаем $6^{log_6 2^2} = 6^{log_6 4}$. По основному тождеству это равно $4$.

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение: $5 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 5 - 2 = 3$.

Ответ: $3$

11. Найдите:

1) значение a, если $log_3a = \frac{1}{2}$;

2) значение b, если $log_b\frac{1}{81} = -4$;

3) значение c, если $log_6c = 3$;

4) значение m, если $log_m 0,25 = -4$.

1) значение a, если $\log_3 a = \frac{1}{2}$

По определению логарифма, равенство $\log_x y = z$ эквивалентно $x^z = y$.

Применяя это определение к данному уравнению, получаем: $a = 3^{\frac{1}{2}}$.

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и извлечение квадратного корня.

Следовательно, $a = \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \sqrt{3}$.

2) значение b, если $\log_b \frac{1}{81} = -4$

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в показательной форме: $b^{-4} = \frac{1}{81}$.

Свойство отрицательной степени гласит, что $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применим его к левой части уравнения: $\frac{1}{b^4} = \frac{1}{81}$.

Отсюда следует, что знаменатели равны: $b^4 = 81$.

Чтобы найти $b$, нужно извлечь корень четвертой степени из 81. Мы знаем, что $81 = 3^4$.

Таким образом, $b^4 = 3^4$.

Поскольку основание логарифма $b$ должно быть положительным числом, не равным 1, то $b=3$.

Ответ: $b = 3$.

3) значение c, если $\log_6 c = 3$

Согласно определению логарифма, данное уравнение можно записать в виде $6^3 = c$.

Теперь необходимо вычислить значение $6^3$:

$c = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$.

Ответ: $c = 216$.

4) значение m, если $\log_m 0,25 = -4$

Перепишем логарифмическое уравнение в виде показательного, используя определение логарифма: $m^{-4} = 0,25$.

Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Уравнение принимает вид: $m^{-4} = \frac{1}{4}$.

Используем свойство отрицательной степени: $\frac{1}{m^4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда получаем, что $m^4 = 4$.

Для нахождения $m$ извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как основание логарифма $m$ должно быть положительным, мы ищем только положительное значение корня.

$m = \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $m = \sqrt{2}$.

12. Если $log_7 3 = a$ и $log_7 5 = b$, то найдите:

1) $log_7 25 - log_7 243;$

2) $log_{125} 81 + 2 log_7 15;$

3) $\frac{1}{2} log_7 441 - log_5 9;$

4) $log_{15} 21 + 3 log_{15} 245.$

Дано: $\log_7 3 = a$ и $\log_7 5 = b$.

1) $\log_7 25 - \log_7 243$

Для решения используем свойство логарифма степени $\log_c(x^k) = k \log_c x$.

Представим числа 25 и 243 в виде степеней:

$25 = 5^2$

$243 = 3^5$

Теперь преобразуем каждый член выражения:

$\log_7 25 = \log_7(5^2) = 2 \log_7 5 = 2b$

$\log_7 243 = \log_7(3^5) = 5 \log_7 3 = 5a$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\log_7 25 - \log_7 243 = 2b - 5a$

Ответ: $2b - 5a$.

2) $\log_{125} 81 + 2 \log_7 15$

Преобразуем каждое слагаемое, приведя логарифмы к основанию 7.

Для первого слагаемого используем формулу замены основания логарифма $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}$:

$\log_{125} 81 = \frac{\log_7 81}{\log_7 125} = \frac{\log_7(3^4)}{\log_7(5^3)} = \frac{4 \log_7 3}{3 \log_7 5} = \frac{4a}{3b}$.

Для второго слагаемого используем свойство логарифма произведения $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$:

$2 \log_7 15 = 2 \log_7(3 \cdot 5) = 2(\log_7 3 + \log_7 5) = 2(a+b) = 2a + 2b$.

Сложим полученные выражения:

$\log_{125} 81 + 2 \log_7 15 = \frac{4a}{3b} + 2a + 2b$.

Ответ: $\frac{4a}{3b} + 2a + 2b$.

3) $\frac{1}{2} \log_7 441 - \log_5 9$

Преобразуем уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.

$\frac{1}{2} \log_7 441 = \log_7(441^{1/2}) = \log_7(\sqrt{441}) = \log_7 21$.

Так как $21 = 3 \cdot 7$, то $\log_7 21 = \log_7(3 \cdot 7) = \log_7 3 + \log_7 7 = a + 1$.

Преобразуем вычитаемое, используя формулу замены основания логарифма:

$\log_5 9 = \frac{\log_7 9}{\log_7 5} = \frac{\log_7(3^2)}{\log_7 5} = \frac{2 \log_7 3}{b} = \frac{2a}{b}$.

Теперь найдем разность полученных выражений:

$a + 1 - \frac{2a}{b} = \frac{b(a+1) - 2a}{b} = \frac{ab + b - 2a}{b}$.

Ответ: $\frac{ab + b - 2a}{b}$.

4) $\log_{15} 21 + 3 \log_{15} 245$

Перейдем к основанию 7 для всех логарифмов, используя формулу $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}$.

Преобразуем первое слагаемое:

$\log_{15} 21 = \frac{\log_7 21}{\log_7 15} = \frac{\log_7(3 \cdot 7)}{\log_7(3 \cdot 5)} = \frac{\log_7 3 + \log_7 7}{\log_7 3 + \log_7 5} = \frac{a+1}{a+b}$.

Преобразуем второе слагаемое:

$3 \log_{15} 245 = 3 \cdot \frac{\log_7 245}{\log_7 15} = 3 \cdot \frac{\log_7(5 \cdot 7^2)}{\log_7(3 \cdot 5)} = 3 \cdot \frac{\log_7 5 + \log_7(7^2)}{\log_7 3 + \log_7 5} = 3 \cdot \frac{b + 2}{a+b} = \frac{3b+6}{a+b}$.

Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{a+1}{a+b} + \frac{3b+6}{a+b} = \frac{a+1+3b+6}{a+b} = \frac{a+3b+7}{a+b}$.

Ответ: $\frac{a+3b+7}{a+b}$.

Докажите, что функции $F(x)$ являются первообразными для функции $f(x)$ (13–15):

13. 1)

$F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$, $x \in (3; +\infty)$;

2)

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$;

3)

$F(x) = x^3 - 3\sin x$, $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$, $x \in R$;

4)

$F(x) = 2\cos(4x-1) + 7x^7$, $f(x) = -8\sin(4x-1) + 49x^6$, $x \in R$.

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо показать, что на этом промежутке выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$ и $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$ на промежутке $x \in (3; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства представим корень в виде степени:

$F(x) = 4(x-3)^{\frac{1}{2}} + 2$

Используя правило дифференцирования степенной и сложной функции, получаем:

$F'(x) = (4(x-3)^{\frac{1}{2}} + 2)' = 4 \cdot \frac{1}{2}(x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-3)' + (2)'$

$F'(x) = 2(x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 + 0 = \frac{2}{(x-3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$

Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(3; +\infty)$.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

2) Даны функции $F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$:

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16x^{\frac{1}{2}}$

Дифференцируем по правилу для степенной функции:

$F'(x) = (\frac{1}{12}x^6 - 16x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{12} \cdot 6x^{6-1} - 16 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

$F'(x) = \frac{6}{12}x^5 - 8x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^5 - \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

3) Даны функции $F(x) = x^3 - 3\sin x$ и $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$ на множестве $x \in R$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^3 - 3\sin x)' = (x^3)' - (3\sin x)'$

Используем табличные производные:

$F'(x) = 3x^2 - 3\cos x$

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на множестве всех действительных чисел.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

4) Даны функции $F(x) = 2\cos(4x - 1) + 7x^7$ и $f(x) = -8\sin(4x - 1) + 49x^6$ на множестве $x \in R$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2\cos(4x - 1) + 7x^7)' = (2\cos(4x - 1))' + (7x^7)'$

Для первого слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции:

$(2\cos(4x - 1))' = 2 \cdot (-\sin(4x - 1)) \cdot (4x - 1)' = -2\sin(4x - 1) \cdot 4 = -8\sin(4x - 1)$

Для второго слагаемого применяем правило для степенной функции:

$(7x^7)' = 7 \cdot 7x^{7-1} = 49x^6$

Складываем полученные производные:

$F'(x) = -8\sin(4x - 1) + 49x^6$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на множестве всех действительных чисел.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.