Номер 12, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

12. Если $log_7 3 = a$ и $log_7 5 = b$, то найдите:

1) $log_7 25 - log_7 243;$

2) $log_{125} 81 + 2 log_7 15;$

3) $\frac{1}{2} log_7 441 - log_5 9;$

4) $log_{15} 21 + 3 log_{15} 245.$

Дано: $\log_7 3 = a$ и $\log_7 5 = b$.

1) $\log_7 25 - \log_7 243$

Для решения используем свойство логарифма степени $\log_c(x^k) = k \log_c x$.

Представим числа 25 и 243 в виде степеней:

$25 = 5^2$

$243 = 3^5$

Теперь преобразуем каждый член выражения:

$\log_7 25 = \log_7(5^2) = 2 \log_7 5 = 2b$

$\log_7 243 = \log_7(3^5) = 5 \log_7 3 = 5a$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$\log_7 25 - \log_7 243 = 2b - 5a$

Ответ: $2b - 5a$.

2) $\log_{125} 81 + 2 \log_7 15$

Преобразуем каждое слагаемое, приведя логарифмы к основанию 7.

Для первого слагаемого используем формулу замены основания логарифма $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}$:

$\log_{125} 81 = \frac{\log_7 81}{\log_7 125} = \frac{\log_7(3^4)}{\log_7(5^3)} = \frac{4 \log_7 3}{3 \log_7 5} = \frac{4a}{3b}$.

Для второго слагаемого используем свойство логарифма произведения $\log_c(xy) = \log_c x + \log_c y$:

$2 \log_7 15 = 2 \log_7(3 \cdot 5) = 2(\log_7 3 + \log_7 5) = 2(a+b) = 2a + 2b$.

Сложим полученные выражения:

$\log_{125} 81 + 2 \log_7 15 = \frac{4a}{3b} + 2a + 2b$.

Ответ: $\frac{4a}{3b} + 2a + 2b$.

3) $\frac{1}{2} \log_7 441 - \log_5 9$

Преобразуем уменьшаемое и вычитаемое по отдельности.

$\frac{1}{2} \log_7 441 = \log_7(441^{1/2}) = \log_7(\sqrt{441}) = \log_7 21$.

Так как $21 = 3 \cdot 7$, то $\log_7 21 = \log_7(3 \cdot 7) = \log_7 3 + \log_7 7 = a + 1$.

Преобразуем вычитаемое, используя формулу замены основания логарифма:

$\log_5 9 = \frac{\log_7 9}{\log_7 5} = \frac{\log_7(3^2)}{\log_7 5} = \frac{2 \log_7 3}{b} = \frac{2a}{b}$.

Теперь найдем разность полученных выражений:

$a + 1 - \frac{2a}{b} = \frac{b(a+1) - 2a}{b} = \frac{ab + b - 2a}{b}$.

Ответ: $\frac{ab + b - 2a}{b}$.

4) $\log_{15} 21 + 3 \log_{15} 245$

Перейдем к основанию 7 для всех логарифмов, используя формулу $\log_x y = \frac{\log_c y}{\log_c x}$.

Преобразуем первое слагаемое:

$\log_{15} 21 = \frac{\log_7 21}{\log_7 15} = \frac{\log_7(3 \cdot 7)}{\log_7(3 \cdot 5)} = \frac{\log_7 3 + \log_7 7}{\log_7 3 + \log_7 5} = \frac{a+1}{a+b}$.

Преобразуем второе слагаемое:

$3 \log_{15} 245 = 3 \cdot \frac{\log_7 245}{\log_7 15} = 3 \cdot \frac{\log_7(5 \cdot 7^2)}{\log_7(3 \cdot 5)} = 3 \cdot \frac{\log_7 5 + \log_7(7^2)}{\log_7 3 + \log_7 5} = 3 \cdot \frac{b + 2}{a+b} = \frac{3b+6}{a+b}$.

Сложим полученные дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{a+1}{a+b} + \frac{3b+6}{a+b} = \frac{a+1+3b+6}{a+b} = \frac{a+3b+7}{a+b}$.

Ответ: $\frac{a+3b+7}{a+b}$.