Номер 7, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. 1) $\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^5} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3}$;

2) $\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3}$;

3) $\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7}$;

4) $\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Поскольку у обоих корней показатель степени равен 6, мы можем объединить подкоренные выражения под одним знаком корня.

$\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^5} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3} = \sqrt[6]{(2^7 \cdot 3^5) \cdot (2^5 \cdot 3)}$

Далее, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[6]{(2^7 \cdot 2^5) \cdot (3^5 \cdot 3^1)} = \sqrt[6]{2^{7+5} \cdot 3^{5+1}} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^6}$

Теперь применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt[6]{2^{12}} \cdot \sqrt[6]{3^6} = 2^{12/6} \cdot 3^{6/6} = 2^2 \cdot 3^1$

Осталось вычислить результат:

$4 \cdot 3 = 12$

Ответ: $12$

2) В данном примере показатели корней также совпадают и равны 5. Объединим подкоренные выражения:

$\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3} = \sqrt[5]{(5^3 \cdot 6^2) \cdot (5^{12} \cdot 6^3)}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:

$\sqrt[5]{(5^3 \cdot 5^{12}) \cdot (6^2 \cdot 6^3)} = \sqrt[5]{5^{3+12} \cdot 6^{2+3}} = \sqrt[5]{5^{15} \cdot 6^5}$

Извлечем корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt[5]{5^{15}} \cdot \sqrt[5]{6^5} = 5^{15/5} \cdot 6^{5/5} = 5^3 \cdot 6^1$

Вычислим конечное значение:

$125 \cdot 6 = 750$

Ответ: $750$

3) Оба корня имеют показатель 8, поэтому мы можем перемножить их подкоренные выражения:

$\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7} = \sqrt[8]{(4^5 \cdot 7^7) \cdot (4^7 \cdot 7^1)}$

Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$\sqrt[8]{(4^5 \cdot 4^7) \cdot (7^7 \cdot 7^1)} = \sqrt[8]{4^{5+7} \cdot 7^{7+1}} = \sqrt[8]{4^{12} \cdot 7^8}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt[8]{4^{12}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 4^{12/8} \cdot 7^{8/8} = 4^{3/2} \cdot 7^1$

Упростим выражение $4^{3/2}$. Для этого представим число 4 как $2^2$:

$4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{2 \cdot (3/2)} = 2^3 = 8$

Теперь вычислим произведение:

$8 \cdot 7 = 56$

Ответ: $56$

4) Показатели корней равны 4. Применим свойство произведения корней:

$\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{(2^5 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 5^1)}$

Сгруппируем множители и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 2^3) \cdot (5^3 \cdot 5^1)} = \sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 5^{3+1}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 5^4}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{5^4} = 2^{8/4} \cdot 5^{4/4} = 2^2 \cdot 5^1$

Вычислим итоговое значение:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$