Номер 10, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

10. 1) $log_{27} 3 - log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + log_{2.5} 0.4;$

2) $log_{\sqrt[3]{36}} \frac{1}{6} - log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2} - log_{0.2} 5;$

3) $9^{\frac{3}{2}} - log_{\frac{1}{5}} 25;$

4) $log_{\sqrt{3}} 27 - log_{1.5} \frac{2}{3} - log_8 4;$

5) $log_3 \frac{1}{27} - log_4 32;$

6) $625^{\frac{1}{4}} - \frac{1}{4} log_2 4 \cdot 36^{log_6 2}.$

1)

Для решения данного выражения вычислим значение каждого логарифма по отдельности. Мы будем использовать свойства логарифмов: $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$, $log_a b^n = n \cdot log_a b$ и $log_a a = 1$.

Первый член: $log_{27} 3$. Так как основание $27 = 3^3$, то $log_{27} 3 = log_{3^3} 3 = \frac{1}{3} log_3 3 = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$.

Второй член: $log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5}$. Основание $\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}$, а аргумент $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Следовательно, $log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} = log_{5^{\frac{1}{2}}} 5^{-1} = \frac{-1}{1/2} log_5 5 = -2 \cdot 1 = -2$.

Третий член: $log_{2,5} 0,4$. Представим основание и аргумент в виде дробей: $2,5 = \frac{5}{2}$ и $0,4 = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$. Заметим, что $\frac{2}{5} = (\frac{5}{2})^{-1}$. Тогда $log_{2,5} 0,4 = log_{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2})^{-1} = -1$.

Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение: $log_{27} 3 - log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5} + log_{2,5} 0,4 = \frac{1}{3} - (-2) + (-1) = \frac{1}{3} + 2 - 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2)

Вычислим значение каждого члена выражения поочередно.

Первый член: $log_{\sqrt[6]{36}} \frac{1}{36}$. Упростим основание: $\sqrt[6]{36} = (36)^{\frac{1}{6}} = (6^2)^{\frac{1}{6}} = 6^{\frac{2}{6}} = 6^{\frac{1}{3}}$. Упростим аргумент: $\frac{1}{36} = 36^{-1} = (6^2)^{-1} = 6^{-2}$. Тогда логарифм равен $log_{6^{\frac{1}{3}}} 6^{-2} = \frac{-2}{1/3} log_6 6 = -6$.

Второй член: $log_{\sqrt{2}} \frac{1}{2}$. Основание $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$, аргумент $\frac{1}{2} = 2^{-1}$. Тогда $log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^{-1} = \frac{-1}{1/2} log_2 2 = -2$.

Третий член: $log_{0,2} 5$. Основание $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$. Аргумент $5 = 5^1$. Тогда $log_{5^{-1}} 5 = \frac{1}{-1} log_5 5 = -1$.

Подставляем найденные значения в выражение: $-6 - (-2) - (-1) = -6 + 2 + 1 = -3$.

Ответ: $-3$

3)

Вычислим каждую часть выражения отдельно.

Первая часть: $9^{\frac{3}{2}}$. Это можно вычислить как $(3^2)^{\frac{3}{2}} = 3^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 3^3 = 27$.

Вторая часть: $log_{\frac{1}{5}} 25$. Основание $\frac{1}{5} = 5^{-1}$, аргумент $25 = 5^2$. Тогда $log_{5^{-1}} 5^2 = \frac{2}{-1} log_5 5 = -2$.

Теперь найдем разность: $27 - (-2) = 27 + 2 = 29$.

Ответ: $29$

4)

Вычислим каждый логарифм в выражении.

Первый член: $log_{\sqrt{3}} 27$. Основание $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, аргумент $27 = 3^3$. Таким образом, $log_{3^{\frac{1}{2}}} 3^3 = \frac{3}{1/2} log_3 3 = 6$.

Второй член: $log_{1,5} \frac{2}{3}$. Основание $1,5 = \frac{3}{2}$. Аргумент $\frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}$. Следовательно, $log_{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2})^{-1} = -1$.

Третий член: $log_8 4$. Приведем основание и аргумент к основанию 2: $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Тогда $log_{2^3} 2^2 = \frac{2}{3} log_2 2 = \frac{2}{3}$.

Подставляем значения в исходное выражение: $6 - (-1) - \frac{2}{3} = 7 - \frac{2}{3} = \frac{21}{3} - \frac{2}{3} = \frac{19}{3}$.

Ответ: $\frac{19}{3}$

5)

Вычислим значение каждого логарифма.

Первый член: $log_3 \frac{1}{27}$. Так как $\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$, то $log_3 3^{-3} = -3 \cdot log_3 3 = -3$.

Второй член: $log_4 32$. Приведем основание и аргумент к степеням одного числа, например 2. Основание $4=2^2$, аргумент $32=2^5$. Тогда $log_4 32 = log_{2^2} 2^5 = \frac{5}{2} log_2 2 = \frac{5}{2}$.

Вычисляем разность: $-3 - \frac{5}{2} = -\frac{6}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{11}{2}$.

Ответ: $-\frac{11}{2}$

6)

Решим выражение, соблюдая порядок действий (сначала умножение, затем вычитание).

Вычислим первый член: $625^{\frac{1}{4}}$. Поскольку $625 = 5^4$, то $625^{\frac{1}{4}} = (5^4)^{\frac{1}{4}} = 5^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 5$.

Далее вычислим произведение $(\frac{1}{4} log_2 4) \cdot (36^{log_6 2})$.

Первый множитель: $\frac{1}{4} log_2 4 = \frac{1}{4} log_2 2^2 = \frac{1}{4} \cdot 2 = \frac{1}{2}$.

Второй множитель: $36^{log_6 2}$. Используем основное логарифмическое тождество $a^{log_a b} = b$ и свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$. $36^{log_6 2} = (6^2)^{log_6 2} = 6^{2 \cdot log_6 2}$. Используя свойство логарифма $k \cdot log_a b = log_a b^k$, получаем $6^{log_6 2^2} = 6^{log_6 4}$. По основному тождеству это равно $4$.

Теперь подставим все вычисленные значения в исходное выражение: $5 - \frac{1}{2} \cdot 4 = 5 - 2 = 3$.

Ответ: $3$