Номер 16, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Упростите выражения (16–19);

16. 1) $(\sqrt{a}-\sqrt{a-b})(\sqrt{a}+\sqrt{a-b})$;

2) $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}};

3) $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{6}}};

4) $\frac{a^{\frac{23}{3}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}.

1) Для упрощения выражения $(\sqrt{a} - \sqrt{a-b})(\sqrt{a} + \sqrt{a-b})$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В данном случае $x = \sqrt{a}$ и $y = \sqrt{a-b}$.

Применяя формулу, получаем: $(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{a-b})^2 = a - (a-b) = a - a + b = b$.

Ответ: $b$

2) Рассмотрим выражение под корнем $\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2 - 4\sqrt{ab}}$.

Сначала раскроем скобки в выражении $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2$, используя формулу квадрата суммы: $(\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b$.

Теперь подставим это в подкоренное выражение: $a + 2\sqrt{ab} + b - 4\sqrt{ab} = a - 2\sqrt{ab} + b$.

Полученное выражение является полным квадратом разности: $( \sqrt{a} - \sqrt{b} )^2$.

Таким образом, исходное выражение можно переписать в виде $\sqrt{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}$.

Используя свойство $\sqrt{x^2} = |x|$, получаем окончательный результат: $|\sqrt{a} - \sqrt{b}|$.

Ответ: $|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$

3) Упростим дробь $\frac{a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$: $a^{\frac{4}{3}} - 4a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{4}{3}-\frac{1}{3}} - 4) = a^{\frac{1}{3}}(a - 4)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$ (наименьшая степень): $a^{\frac{5}{6}} - 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5}{6}-\frac{1}{3}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{5-2}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{3}{6}} - 2) = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)$.

Теперь дробь имеет вид: $\frac{a^{\frac{1}{3}}(a - 4)}{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{2}} - 2)}$.

Сократим на $a^{\frac{1}{3}}$ (при $a \neq 0$): $\frac{a - 4}{a^{\frac{1}{2}} - 2}$.

Числитель $a-4$ можно разложить как разность квадратов, представив $a$ как $(a^{\frac{1}{2}})^2$: $a - 4 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - 2^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)$.

Подставим разложенный числитель обратно в дробь: $\frac{(a^{\frac{1}{2}} - 2)(a^{\frac{1}{2}} + 2)}{a^{\frac{1}{2}} - 2}$.

Сократив общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - 2)$, получаем $a^{\frac{1}{2}} + 2$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + 2$

4) Рассмотрим выражение $\frac{a^{\frac{23}{3}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}$. В показателе степени $a^{\frac{23}{3}}$ в числителе, вероятно, допущена опечатка. Чтобы выражение можно было упростить по аналогии с предыдущими заданиями (где присутствуют квадраты чисел 2 и 5), логично предположить, что показатель должен быть $\frac{23}{6}$, а не $\frac{23}{3}$.

Будем решать задачу с исправленным показателем: $\frac{a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}}}$.

Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ в числителе: $a^{\frac{23}{6}} - 25a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{23}{6}-\frac{1}{2}} - 25) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{23-3}{6}} - 25) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{20}{6}} - 25) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{3}} - 25)$.

Вынесем общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$ в знаменателе: $a^{\frac{13}{6}} - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{13}{6}-\frac{1}{2}} - 5) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{13-3}{6}} - 5) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{6}} - 5) = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{5}{3}} - 5)$.

Дробь принимает вид: $\frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{10}{3}} - 25)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{5}{3}} - 5)} = \frac{a^{\frac{10}{3}} - 25}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Числитель $a^{\frac{10}{3}} - 25$ является разностью квадратов, так как $a^{\frac{10}{3}} = (a^{\frac{5}{3}})^2$: $(a^{\frac{5}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)$.

Подставляем в дробь: $\frac{(a^{\frac{5}{3}} - 5)(a^{\frac{5}{3}} + 5)}{a^{\frac{5}{3}} - 5}$.

Сократив общий множитель $(a^{\frac{5}{3}} - 5)$, получаем $a^{\frac{5}{3}} + 5$.

Ответ: $a^{\frac{5}{3}} + 5$