Номер 18, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

18. 1)
$ \left( \frac{b^{\frac{1}{2}} + 6}{b^{\frac{3}{2}} - 6b} - \frac{b^{0.5} - 6}{b^{1.5} + 6b} \right) : \frac{2b^{0.5}}{b - 36}; $

2) $ \left( \frac{7}{b - 7b^{0.5}} - \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2 - 49b} \right) \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b}. $

1) Упростим выражение $(\frac{b^{\frac{1}{2}} + 6}{b^{\frac{3}{2}} - 6b} - \frac{b^{0.5} - 6}{b^{1.5} + 6b}) : \frac{2b^{0.5}}{b - 36}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Для удобства будем использовать запись $b^{0.5} = \sqrt{b}$ и $b^{1.5} = b\sqrt{b}$.

$(\frac{\sqrt{b} + 6}{b\sqrt{b} - 6b} - \frac{\sqrt{b} - 6}{b\sqrt{b} + 6b})$

Вынесем общие множители в знаменателях:

$\frac{\sqrt{b} + 6}{b(\sqrt{b} - 6)} - \frac{\sqrt{b} - 6}{b(\sqrt{b} + 6)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $b(\sqrt{b} - 6)(\sqrt{b} + 6)$, который равен $b(b-36)$ по формуле разности квадратов:

$\frac{(\sqrt{b} + 6)(\sqrt{b} + 6) - (\sqrt{b} - 6)(\sqrt{b} - 6)}{b(\sqrt{b} - 6)(\sqrt{b} + 6)} = \frac{(\sqrt{b} + 6)^2 - (\sqrt{b} - 6)^2}{b(b - 36)}$

Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $a^2 - c^2 = (a-c)(a+c)$, где $a = \sqrt{b}+6$ и $c=\sqrt{b}-6$:

$((\sqrt{b} + 6) - (\sqrt{b} - 6))((\sqrt{b} + 6) + (\sqrt{b} - 6)) = (\sqrt{b} + 6 - \sqrt{b} + 6)(\sqrt{b} + 6 + \sqrt{b} - 6) = (12)(2\sqrt{b}) = 24\sqrt{b}$

Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{24\sqrt{b}}{b(b - 36)}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{24\sqrt{b}}{b(b - 36)} : \frac{2b^{0.5}}{b - 36} = \frac{24\sqrt{b}}{b(b - 36)} \cdot \frac{b - 36}{2\sqrt{b}}$

Сокращаем общие множители $(b-36)$ и $\sqrt{b}$ (или $b^{0.5}$):

$\frac{24}{b \cdot 2} = \frac{12}{b}$

Ответ: $\frac{12}{b}$

2) Упростим выражение $(\frac{7}{b - 7b^{0.5}} - \frac{b^{\frac{3}{2}}}{b^2 - 49b}) \cdot \frac{b^{0.5} + 7}{49 + 7b^{\frac{1}{2}} - b}$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя $b^{0.5} = \sqrt{b}$ и $b^{3/2} = b\sqrt{b}$.

$\frac{7}{b - 7\sqrt{b}} - \frac{b\sqrt{b}}{b^2 - 49b}$

Разложим знаменатели на множители:

$\frac{7}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)} - \frac{b\sqrt{b}}{b(b - 49)}$

Сократим $b$ во второй дроби и разложим знаменатель $b-49$ по формуле разности квадратов:

$\frac{7}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)} - \frac{\sqrt{b}}{(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)$:

$\frac{7(\sqrt{b} + 7) - \sqrt{b} \cdot \sqrt{b}}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)} = \frac{7\sqrt{b} + 49 - b}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)}$

Теперь выполним умножение. Заметим, что $b^{0.5} = b^{1/2} = \sqrt{b}$

$\frac{49 + 7\sqrt{b} - b}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)(\sqrt{b} + 7)} \cdot \frac{\sqrt{b} + 7}{49 + 7\sqrt{b} - b}$

Сократим одинаковые выражения в числителе первой дроби и знаменателе второй, а также в знаменателе первой и числителе второй:

$\frac{1}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)}$

Преобразуем результат, чтобы избавиться от корней в знаменателе, и вернемся к записи со степенями:

$\frac{1}{\sqrt{b}(\sqrt{b} - 7)} = \frac{1}{b - 7\sqrt{b}} = \frac{1}{b - 7b^{0.5}}$

Ответ: $\frac{1}{b - 7b^{0.5}}$