Номер 15, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

$(\sin 5x)' )$

15. 1) $F(x) = \frac{3^x}{\ln 3} + 3x,$ $f(x) = 3^x + 3, x \in R;$

2) $F(x) = \ln x - (0,5)^x,$ $f(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln \frac{1}{2}, x \in R;$

3) $F(x) = x - \ln x^3,$ $f(x) = \frac{x - 3}{x}, x \in (0; +\infty);$

4) $F(x) = \ln x^2,$ $f(x) = \frac{2}{x}, x \in (0; +\infty).$

1) Чтобы определить, является ли функция $f(x)$ производной для функции $F(x)$, необходимо найти производную $F'(x)$ и сравнить ее с $f(x)$.

Дана функция $F(x) = \frac{3^x}{\ln{3}} + 3x$.

Найдем ее производную, используя правило дифференцирования суммы $(u+v)' = u' + v'$ и формулу производной показательной функции $(a^x)' = a^x \ln a$:

$F'(x) = \left(\frac{3^x}{\ln{3}} + 3x\right)' = \left(\frac{3^x}{\ln{3}}\right)' + (3x)' = \frac{1}{\ln{3}} \cdot (3^x)' + 3 = \frac{1}{\ln{3}} \cdot (3^x \ln{3}) + 3 = 3^x + 3$.

Полученная производная $F'(x) = 3^x + 3$ полностью совпадает с данной функцией $f(x) = 3^x + 3$. Области определения обеих функций ($x \in R$) также совпадают. Следовательно, $f(x)$ является производной для $F(x)$.

Ответ: Да, является.

2) Дана функция $F(x) = \ln x - (0,5)^x$.

Область определения этой функции $x > 0$, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным.

Найдем производную $F'(x)$, используя правило дифференцирования разности $(u-v)' = u' - v'$ и формулы производных для логарифмической и показательной функций:

$F'(x) = (\ln x - (0,5)^x)' = (\ln x)' - ((0,5)^x)' = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln{0,5}$.

Сравним результат с предложенной функцией $f(x) = \frac{1}{x} - 0,5^x \ln\frac{1}{2}$.

Поскольку $0,5 = \frac{1}{2}$, то их натуральные логарифмы равны: $\ln{0,5} = \ln\frac{1}{2}$.

Таким образом, $F'(x) = f(x)$ на общей области определения $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: Да, является.

3) Дана функция $F(x) = x - \ln{x^3}$.

Область определения функции $F(x)$ задается условием $x^3 > 0$, что эквивалентно $x > 0$. Это совпадает с областью определения $x \in (0, +\infty)$ для функции $f(x)$.

Перед нахождением производной можно упростить $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$F(x) = x - 3\ln x$.

Теперь найдем производную:

$F'(x) = (x - 3\ln x)' = (x)' - (3\ln x)' = 1 - 3 \cdot \frac{1}{x} = 1 - \frac{3}{x}$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю, чтобы сравнить с $f(x) = \frac{x-3}{x}$:

$F'(x) = \frac{x}{x} - \frac{3}{x} = \frac{x-3}{x}$.

Результат совпадает с функцией $f(x)$.

Ответ: Да, является.

4) Дана функция $F(x) = \ln{x^2}$ и функция $f(x) = \frac{2}{x}$ на промежутке $x \in (0, +\infty)$.

На указанном промежутке $x > 0$, поэтому можно упростить выражение для $F(x)$, используя свойство логарифма $\ln a^b = b \ln a$:

$F(x) = \ln{x^2} = 2\ln x$.

Найдем производную этой функции:

$F'(x) = (2\ln x)' = 2 \cdot (\ln x)' = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.

Полученная производная $F'(x)$ совпадает с функцией $f(x)$ на заданном промежутке $x \in (0, +\infty)$.

Ответ: Да, является.