Номер 20, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

20. Докажите тождество:

1) $ \sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3} $;

2) $ \sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5} $;

3) $ \frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}} $;

4) $ \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}} $.

1) Для доказательства тождества $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = 7 - 4\sqrt{3}$ возведем правую часть в квадрат. Прежде всего, убедимся, что выражение в правой части неотрицательно, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным.

Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Возведем оба числа в квадрат: $7^2 = 49$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

Теперь возведем правую часть в квадрат, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(7 - 4\sqrt{3})^2 = 7^2 - 2 \cdot 7 \cdot 4\sqrt{3} + (4\sqrt{3})^2 = 49 - 56\sqrt{3} + 16 \cdot 3 = 49 - 56\sqrt{3} + 48 = 97 - 56\sqrt{3}$.

Полученное выражение совпадает с подкоренным выражением в левой части. Таким образом, $\sqrt{97 - 56\sqrt{3}} = \sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} = |7 - 4\sqrt{3}| = 7 - 4\sqrt{3}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Для доказательства тождества $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = 1 - \sqrt{5}$ возведем правую часть в куб. Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Пусть $a=1$ и $b=\sqrt{5}$. Тогда:

$(1 - \sqrt{5})^3 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 \cdot \sqrt{5} + 3 \cdot 1 \cdot (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{5})^3 = 1 - 3\sqrt{5} + 3 \cdot 5 - 5\sqrt{5}$.

Сгруппируем слагаемые: $(1 + 15) - (3\sqrt{5} + 5\sqrt{5}) = 16 - 8\sqrt{5}$.

Полученное выражение в точности совпадает с подкоренным выражением в левой части. Следовательно, $\sqrt[3]{16 - 8\sqrt{5}} = \sqrt[3]{(1 - \sqrt{5})^3} = 1 - \sqrt{5}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Для доказательства тождества $\frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{21 + 12\sqrt{3}}}$ преобразуем обе части равенства по отдельности.

Сначала упростим левую часть. Вынесем $\sqrt{3}$ в знаменателе за скобки:

$\frac{1 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Теперь упростим правую часть. Начнем с подкоренного выражения в знаменателе: $21 + 12\sqrt{3}$. Попробуем представить его в виде полного квадрата $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $2ab = 12\sqrt{3}$, тогда $ab = 6\sqrt{3}$. И $a^2 + b^2 = 21$. Подбором находим $a = 3$ и $b = 2\sqrt{3}$, так как $3^2 + (2\sqrt{3})^2 = 9 + 4 \cdot 3 = 9 + 12 = 21$.

Значит, $21 + 12\sqrt{3} = (3 + 2\sqrt{3})^2$. Тогда $\sqrt{21 + 12\sqrt{3}} = \sqrt{(3 + 2\sqrt{3})^2} = 3 + 2\sqrt{3}$.

Правая часть принимает вид: $\frac{2 + \sqrt{3}}{3 + 2\sqrt{3}}$.

Домножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $3 - 2\sqrt{3}$:

$\frac{(2 + \sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})}{(3 + 2\sqrt{3})(3 - 2\sqrt{3})} = \frac{6 - 4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2(\sqrt{3})^2}{3^2 - (2\sqrt{3})^2} = \frac{6 - \sqrt{3} - 6}{9 - 12} = \frac{-\sqrt{3}}{-3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Поскольку обе части равенства равны одному и тому же числу $\frac{\sqrt{3}}{3}$, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4) Для доказательства тождества $\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$ сначала упростим левую часть. Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $\sqrt{3} - 1$:

$\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.

Теперь нужно показать, что полученное выражение $2 - \sqrt{3}$ равно правой части, то есть $\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$. Для этого возведем $2 - \sqrt{3}$ в куб.

Используем формулу куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$:

$(2 - \sqrt{3})^3 = 2^3 - 3 \cdot 2^2 \cdot \sqrt{3} + 3 \cdot 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{3})^3 = 8 - 12\sqrt{3} + 6 \cdot 3 - 3\sqrt{3}$.

Сгруппируем слагаемые: $(8 + 18) - (12\sqrt{3} + 3\sqrt{3}) = 26 - 15\sqrt{3}$.

Результат совпадает с подкоренным выражением в правой части. Таким образом, $2 - \sqrt{3} = \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.