Номер 24, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

24.1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{13} 2} = 100;$

2) $49^{\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27;$

3) $5^{\log_5 \sqrt{2}} \cdot 121^{\log_{11} 3} = 36;$

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_3 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54.$

1) $9^{\log_3 5} \cdot 13^{2\log_{169} 2} = 100$

Для решения воспользуемся основными свойствами логарифмов и степеней: $a^{\log_a b} = b$, $k \log_a b = \log_a b^k$, $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$.

Преобразуем левую часть равенства. Сначала вычислим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $9^{\log_3 5}$. Так как $9 = 3^2$, то

$9^{\log_3 5} = (3^2)^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 5^2} = 3^{\log_3 25} = 25$.

Второй множитель: $13^{2\log_{169} 2}$. Основание логарифма $169 = 13^2$. Поэтому

$\log_{169} 2 = \log_{13^2} 2 = \frac{1}{2}\log_{13} 2$.

Тогда второй множитель равен:

$13^{2\log_{169} 2} = 13^{2 \cdot \frac{1}{2}\log_{13} 2} = 13^{\log_{13} 2} = 2$.

Теперь перемножим полученные значения:

$25 \cdot 2 = 50$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили 50, а в правой части уравнения стоит 100.

$50 \neq 100$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна 50.

2) $49^{\log_7 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_7 3} = 27$

Преобразуем показатель степени, используя свойства логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ и $k \log_a b = \log_a b^k$.

Сначала упростим показатель степени: $\log_7 \sqrt{3} + \frac{1}{2}\log_7 3$.

Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то $\log_7 \sqrt{3} = \log_7 3^{1/2} = \frac{1}{2}\log_7 3$.

Показатель степени равен: $\frac{1}{2}\log_7 3 + \frac{1}{2}\log_7 3 = 2 \cdot \left(\frac{1}{2}\log_7 3\right) = \log_7 3$.

Теперь вычислим значение всего выражения:

$49^{\log_7 3} = (7^2)^{\log_7 3} = 7^{2\log_7 3} = 7^{\log_7 3^2} = 7^{\log_7 9} = 9$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили 9, а в правой части уравнения стоит 27.

$9 \neq 27$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна 9.

3) $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} \cdot 121^{\log_{11} \sqrt{3}} = 36$

Преобразуем левую часть равенства, вычислив каждый множитель.

Первый множитель: $5^{\log_{\sqrt{5}} 2}$.

Упростим логарифм в показателе, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, то

$\log_{\sqrt{5}} 2 = \log_{5^{1/2}} 2 = \frac{1}{1/2} \log_5 2 = 2\log_5 2 = \log_5 2^2 = \log_5 4$.

Тогда $5^{\log_{\sqrt{5}} 2} = 5^{\log_5 4} = 4$.

Второй множитель: $121^{\log_{11} \sqrt{3}}$.

Так как $121 = 11^2$ и $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, то

$121^{\log_{11} \sqrt{3}} = (11^2)^{\log_{11} 3^{1/2}} = 11^{2 \cdot \log_{11} 3^{1/2}} = 11^{2 \cdot \frac{1}{2} \log_{11} 3} = 11^{\log_{11} 3} = 3$.

Перемножим полученные значения: $4 \cdot 3 = 12$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили 12, а в правой части уравнения стоит 36.

$12 \neq 36$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна 12.

4) $(8^{\log_2 3} : 27^{\log_9 2}) \cdot 25^{\log_5 4} = 54$

Знак ":" обозначает деление. Вычислим значение выражения в левой части равенства по шагам.

1. Вычислим делимое в скобках: $8^{\log_2 3}$.

$8^{\log_2 3} = (2^3)^{\log_2 3} = 2^{3\log_2 3} = 2^{\log_2 3^3} = 2^{\log_2 27} = 27$.

2. Вычислим делитель в скобках: $27^{\log_9 2}$.

Так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$, то $\log_9 2 = \log_{3^2} 2 = \frac{1}{2}\log_3 2$.

$27^{\log_9 2} = (3^3)^{\frac{1}{2}\log_3 2} = 3^{\frac{3}{2}\log_3 2} = 3^{\log_3 (2^{3/2})} = 2^{3/2} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

3. Вычислим частное в скобках: $27 : (2\sqrt{2}) = \frac{27}{2\sqrt{2}}$.

4. Вычислим второй множитель: $25^{\log_5 4}$.

$25^{\log_5 4} = (5^2)^{\log_5 4} = 5^{2\log_5 4} = 5^{\log_5 4^2} = 5^{\log_5 16} = 16$.

5. Выполним умножение: $\frac{27}{2\sqrt{2}} \cdot 16 = \frac{27 \cdot 8}{\sqrt{2}} = \frac{216}{\sqrt{2}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе: $\frac{216\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{216\sqrt{2}}{2} = 108\sqrt{2}$.

В результате вычисления левой части равенства мы получили $108\sqrt{2}$, а в правой части уравнения стоит 54.

$108\sqrt{2} \neq 54$. Следовательно, данное равенство неверно.

Ответ: Равенство неверно, так как левая часть равна $108\sqrt{2}$.