Номер 28, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

28. 1) $\frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x+3}}$;

2) $\frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x$;

3) $\sqrt{x-9}+2 = \sqrt{x-1}$;

4) $\sqrt{x+5} = 5-\sqrt{x-10}$.

1) Исходное уравнение: $ \frac{x+1}{9-x} = \frac{1}{\sqrt{x}+3} $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $ x \geq 0 $. Знаменатели дробей не должны равняться нулю: $ 9 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 9 $ и $ \sqrt{x}+3 \neq 0 $. Условие $ \sqrt{x}+3 \neq 0 $ выполняется для всех $ x \geq 0 $, так как $ \sqrt{x} \geq 0 $, а значит $ \sqrt{x}+3 \geq 3 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in [0, 9) \cup (9, +\infty) $.

Разложим знаменатель левой части по формуле разности квадратов, представив $ x $ как $ (\sqrt{x})^2 $: $ 9-x = 3^2 - (\sqrt{x})^2 = (3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x}) $.

Подставим это в уравнение: $ \frac{x+1}{(3-\sqrt{x})(3+\sqrt{x})} = \frac{1}{\sqrt{x}+3} $.

Так как $ \sqrt{x}+3 \neq 0 $, мы можем умножить обе части уравнения на $ (\sqrt{x}+3) $, получим: $ \frac{x+1}{3-\sqrt{x}} = 1 $.

Это уравнение равносильно системе: $ \begin{cases} x+1 = 3-\sqrt{x} \\ 3-\sqrt{x} \neq 0 \end{cases} $.

Из первого уравнения выразим корень: $ \sqrt{x} = 3 - 1 - x \Rightarrow \sqrt{x} = 2-x $.

Для существования корня необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $ 2-x \geq 0 $, что означает $ x \leq 2 $.

С учетом ОДЗ, искомое решение должно принадлежать промежутку $ [0, 2] $.

Возведем обе части уравнения $ \sqrt{x} = 2-x $ в квадрат: $ (\sqrt{x})^2 = (2-x)^2 \Rightarrow x = 4 - 4x + x^2 $.

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $ x^2 - 5x + 4 = 0 $.

Найдем корни по теореме Виета: $ x_1 + x_2 = 5 $, $ x_1 \cdot x_2 = 4 $. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 4 $.

Проверим корни на соответствие условию $ x \leq 2 $.

Корень $ x_1 = 1 $ удовлетворяет условию $ 1 \leq 2 $.

Корень $ x_2 = 4 $ не удовлетворяет условию $ 4 \leq 2 $, следовательно, является посторонним.

Единственным решением является $ x=1 $. Оно также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x=1 $.

2) Исходное уравнение: $ \frac{4-x}{2+\sqrt{x}} = 8-x $.

ОДЗ: подкоренное выражение $ x \geq 0 $. Знаменатель $ 2+\sqrt{x} $ не равен нулю при $ x \geq 0 $.

Разложим числитель левой части по формуле разности квадратов: $ 4-x = (2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x}) $.

Уравнение примет вид: $ \frac{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}{2+\sqrt{x}} = 8-x $.

Сократим дробь на $ (2+\sqrt{x}) $: $ 2-\sqrt{x} = 8-x $.

Выразим радикал: $ \sqrt{x} = x - 8 + 2 \Rightarrow \sqrt{x} = x-6 $.

Правая часть должна быть неотрицательной: $ x-6 \geq 0 \Rightarrow x \geq 6 $. Это наше условие для корней.

Возведем обе части в квадрат: $ (\sqrt{x})^2 = (x-6)^2 \Rightarrow x = x^2 - 12x + 36 $.

Получаем квадратное уравнение: $ x^2 - 13x + 36 = 0 $.

По теореме Виета, корни: $ x_1 = 4 $, $ x_2 = 9 $.

Проверим корни на соответствие условию $ x \geq 6 $.

Корень $ x_1 = 4 $ не удовлетворяет условию $ 4 \geq 6 $, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 9 $ удовлетворяет условию $ 9 \geq 6 $.

Единственное решение $ x=9 $. Оно также удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ x=9 $.

3) Исходное уравнение: $ \sqrt{x-9} + 2 = \sqrt{x-1} $.

ОДЗ: $ \begin{cases} x-9 \geq 0 \\ x-1 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq 9 \\ x \geq 1 \end{cases} $. Следовательно, ОДЗ: $ x \geq 9 $.

Обе части уравнения неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат: $ (\sqrt{x-9} + 2)^2 = (\sqrt{x-1})^2 $.

$ (x-9) + 4\sqrt{x-9} + 4 = x-1 $.

$ x - 5 + 4\sqrt{x-9} = x - 1 $.

Уединим радикал: $ 4\sqrt{x-9} = x - 1 - x + 5 $.

$ 4\sqrt{x-9} = 4 $.

$ \sqrt{x-9} = 1 $.

Возведем обе части в квадрат еще раз: $ x-9 = 1^2 \Rightarrow x-9 = 1 $.

$ x = 10 $.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $ 10 \geq 9 $. Удовлетворяет.

Выполним проверку, подставив в исходное уравнение: $ \sqrt{10-9} + 2 = \sqrt{10-1} \Rightarrow \sqrt{1} + 2 = \sqrt{9} \Rightarrow 1+2=3 \Rightarrow 3=3 $. Равенство верное.

Ответ: $ x=10 $.

4) Исходное уравнение: $ \sqrt{x+5} = 5 - \sqrt{x-10} $.

ОДЗ: $ \begin{cases} x+5 \geq 0 \\ x-10 \geq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \geq -5 \\ x \geq 10 \end{cases} $. Следовательно, ОДЗ: $ x \geq 10 $.

Дополнительное условие: правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $ 5 - \sqrt{x-10} \geq 0 \Rightarrow 5 \geq \sqrt{x-10} $. Так как обе части неотрицательны, возведем в квадрат: $ 25 \geq x-10 \Rightarrow x \leq 35 $.

Таким образом, решение должно лежать в промежутке $ [10, 35] $.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат: $ (\sqrt{x+5})^2 = (5 - \sqrt{x-10})^2 $.

$ x+5 = 25 - 10\sqrt{x-10} + (x-10) $.

$ x+5 = x + 15 - 10\sqrt{x-10} $.

Уединим радикал: $ 10\sqrt{x-10} = x+15 - x - 5 $.

$ 10\sqrt{x-10} = 10 $.

$ \sqrt{x-10} = 1 $.

Возведем обе части в квадрат: $ x-10 = 1^2 \Rightarrow x-10 = 1 $.

$ x = 11 $.

Проверим, удовлетворяет ли корень $ x=11 $ найденным ограничениям: $ 10 \leq 11 \leq 35 $. Удовлетворяет.

Выполним проверку, подставив в исходное уравнение: $ \sqrt{11+5} = 5 - \sqrt{11-10} \Rightarrow \sqrt{16} = 5 - \sqrt{1} \Rightarrow 4 = 5-1 \Rightarrow 4=4 $. Равенство верное.

Ответ: $ x=11 $.