Номер 27, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

27. 1) $\sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{3x + 2}$;

2) $\sqrt[3]{x^3 + x + 1} = x$;

3) $\frac{\sqrt{3x - 5}}{x - 1} = \frac{1}{\sqrt{x - 2}}$;

4) $x + 2 = \sqrt{(3x + 4)(x + 1)}$.

1) Исходное уравнение: $\sqrt{x^2 - 2} = \sqrt{3x + 2}$.

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} x^2 - 2 = 3x + 2 \\ 3x + 2 \ge 0 \end{cases} $

(Условие $x^2 - 2 \ge 0$ выполняется автоматически, так как $x^2 - 2$ приравнивается к неотрицательному выражению $3x + 2$).

Решим сначала уравнение:

$x^2 - 2 = 3x + 2$

$x^2 - 3x - 4 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 4$

$x_2 = -1$

Теперь проверим выполнение условия $3x + 2 \ge 0$ (или $x \ge -2/3$) для каждого корня.

Для $x_1 = 4$:

$3(4) + 2 = 12 + 2 = 14 \ge 0$. Корень $x=4$ подходит.

Для $x_2 = -1$:

$3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1 < 0$. Корень $x=-1$ является посторонним.

Ответ: $x=4$

2) Исходное уравнение: $\sqrt[3]{x^3 + x + 1} = x$.

Поскольку корень нечетной степени, мы можем без ограничений возвести обе части уравнения в куб:

$(\sqrt[3]{x^3 + x + 1})^3 = x^3$

$x^3 + x + 1 = x^3$

Вычтем $x^3$ из обеих частей:

$x + 1 = 0$

$x = -1$

Проверка:

$\sqrt[3]{(-1)^3 + (-1) + 1} = \sqrt[3]{-1 - 1 + 1} = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Правая часть: $x = -1$.

$-1 = -1$. Решение верное.

Ответ: $x=-1$

3) Исходное уравнение: $\frac{\sqrt{3x-5}}{x-1} = \frac{1}{\sqrt{x-2}}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$ \begin{cases} 3x - 5 \ge 0 \\ x - 2 > 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge 5/3 \\ x > 2 \\ x \neq 1 \end{cases} $

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 2$.

На ОДЗ $x-1 > 1 > 0$, поэтому можно умножить обе части на $(x-1)\sqrt{x-2}$:

$\sqrt{3x-5} \cdot \sqrt{x-2} = x-1$

$\sqrt{(3x-5)(x-2)} = x-1$

Возводим обе части в квадрат (это допустимо, так как на ОДЗ $x-1 > 0$):

$(3x-5)(x-2) = (x-1)^2$

$3x^2 - 6x - 5x + 10 = x^2 - 2x + 1$

$3x^2 - 11x + 10 = x^2 - 2x + 1$

$2x^2 - 9x + 9 = 0$

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4(2)(9) = 81 - 72 = 9 = 3^2$.

$x_1 = \frac{9+3}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$

$x_2 = \frac{9-3}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

Проверяем корни по ОДЗ ($x>2$):

$x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3>2$.

$x_2 = 1.5$ не удовлетворяет условию $1.5>2$, это посторонний корень.

Ответ: $x=3$

4) Исходное уравнение: $x + 2 = \sqrt{(3x+4)(x+1)}$.

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} (x+2)^2 = (3x+4)(x+1) \\ x+2 \ge 0 \end{cases} $

(Условие $(3x+4)(x+1) \ge 0$ будет выполнено автоматически, так как оно приравнивается к неотрицательному выражению $(x+2)^2$).

Решим сначала уравнение:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 3x + 4x + 4$

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 7x + 4$

$2x^2 + 3x = 0$

$x(2x+3) = 0$

Получаем два корня:

$x_1 = 0$

$2x+3=0 \implies x_2 = -3/2 = -1.5$

Теперь проверим выполнение условия $x+2 \ge 0$ (или $x \ge -2$) для каждого корня.

Для $x_1 = 0$:

$0+2 = 2 \ge 0$. Корень $x=0$ подходит.

Для $x_2 = -1.5$:

$-1.5+2 = 0.5 \ge 0$. Корень $x=-1.5$ подходит.

Ответ: $x_1=0, x_2=-1.5$