Номер 22, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Докажите тождества (22–24):

22. 1)

$ \frac{a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} - ab = 0; $

2)

$ \frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{m} - \sqrt{n}} - \sqrt{mn} = m + n; $

3)

$ \frac{a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}}}{a + 1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}} + 1}{a^{\frac{1}{2}} + 1} - (a - 7)^0 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1, \text{ при } a > 7; $

4)

$ \frac{a - 1}{\sqrt[3]{a} - 1} - \frac{a + 1}{\sqrt[3]{a} + 1} + (a + 10)^0 = 2\sqrt[3]{a} + 1. $

22. 1)

Преобразуем левую часть тождества. Перепишем корни в виде степеней с дробными показателями: $ \sqrt[3]{a} = a^{\frac{1}{3}} $ и $ \sqrt[3]{b} = b^{\frac{1}{3}} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} - ab $

В числителе дроби вынесем за скобки общий множитель $ ab $:

$ a^{\frac{4}{3}}b - ab^{\frac{4}{3}} = a \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b - a \cdot b \cdot b^{\frac{1}{3}} = ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$ \frac{ab(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}} $

При условии, что $ a \neq b $, мы можем сократить дробь на $ (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) $, получив $ ab $.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$ ab - ab = 0 $

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть тождества. Перепишем корни в виде степеней: $ \sqrt{m} = m^{\frac{1}{2}} $, $ \sqrt{n} = n^{\frac{1}{2}} $ и $ \sqrt{mn} = (mn)^{\frac{1}{2}} $.

Выражение принимает вид:

$ \frac{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{mn} $

Числитель дроби $ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} $ является разностью кубов, так как его можно записать в виде $ (m^{\frac{1}{2}})^3 - (n^{\frac{1}{2}})^3 $.

Применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $, где $ x = m^{\frac{1}{2}} $ и $ y = n^{\frac{1}{2}} $:

$ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + \sqrt{mn} + n) $

Подставим это в дробь:

$ \frac{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + \sqrt{mn} + n)}{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}} $

При условии, что $ m \neq n $, мы можем сократить дробь на $ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) $, получив $ m + \sqrt{mn} + n $.

Теперь вернемся к исходному выражению:

$ (m + \sqrt{mn} + n) - \sqrt{mn} = m + n $

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3)

Рассмотрим левую часть тождества при условии $ a > 7 $. Это условие гарантирует, что все выражения определены, и, в частности, что $ a-7 \neq 0 $, поэтому $ (a-7)^0 = 1 $.

Левая часть: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}}{a+1} + \frac{a^{-\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1} - (a-7)^0 $.

Преобразуем каждое слагаемое по отдельности, используя $ a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a} $ и $ a^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.

Первое слагаемое: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}}{a+1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}} + \sqrt{a}}{a+1} = \frac{\frac{1+a}{\sqrt{a}}}{a+1} = \frac{a+1}{\sqrt{a}(a+1)} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.

Второе слагаемое: $ \frac{a^{-\frac{1}{2}}+1}{a^{\frac{1}{2}}+1} = \frac{\frac{1}{\sqrt{a}}+1}{\sqrt{a}+1} = \frac{\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}}{\sqrt{a}+1} = \frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a}+1)} = \frac{1}{\sqrt{a}} $.

Третье слагаемое: $ (a-7)^0 = 1 $.

Подставим упрощенные слагаемые в исходное выражение:

$ \frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{a}} - 1 = \frac{2}{\sqrt{a}} - 1 $.

Полученное выражение совпадает с правой частью тождества. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

4)

Преобразуем левую часть тождества. Предполагается, что $ a \neq \pm 1 $ и $ a \neq -10 $, чтобы все выражения были определены. В этом случае $ (a+10)^0 = 1 $.

Левая часть: $ \frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} - \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} + (a+10)^0 $.

Упростим первую дробь, представив числитель $ a-1 $ как разность кубов $ (\sqrt[3]{a})^3 - 1^3 $ и применив формулу $ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $:

$ \frac{a-1}{\sqrt[3]{a}-1} = \frac{(\sqrt[3]{a}-1)((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a} + 1)}{\sqrt[3]{a}-1} = \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} + 1 $.

Упростим вторую дробь, представив числитель $ a+1 $ как сумму кубов $ (\sqrt[3]{a})^3 + 1^3 $ и применив формулу $ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) $:

$ \frac{a+1}{\sqrt[3]{a}+1} = \frac{(\sqrt[3]{a}+1)((\sqrt[3]{a})^2 - \sqrt[3]{a} + 1)}{\sqrt[3]{a}+1} = \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} + 1 $.

Подставим упрощенные дроби и значение $ (a+10)^0 = 1 $ в исходное выражение:

$ (\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} + 1) - (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} + 1) + 1 $.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} + 1 - \sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{a} - 1 + 1 = (\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a^2}) + (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{a}) + (1 - 1 + 1) = 2\sqrt[3]{a} + 1 $.

Левая часть равна правой части, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.