Номер 19, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

19. 1) $ (\frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} + \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}})^2 $

2) $ \frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} - \frac{y^{-2} - 1}{y^{0.5} + y^{-0.5}} $

1) Упростим выражение $(\frac{25x - 16x^{-1}}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} + \frac{x - 4x^{-1}}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}})^2$ по действиям.Сначала упростим каждую дробь в скобках, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.Для первой дроби числитель $25x - 16x^{-1}$ можно представить как $(5x^{0.5})^2 - (4x^{-0.5})^2$.Таким образом, $25x - 16x^{-1} = (5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5})$.Первая дробь упрощается: $\frac{(5x^{0.5} - 4x^{-0.5})(5x^{0.5} + 4x^{-0.5})}{5x^{0.5} - 4x^{-0.5}} = 5x^{0.5} + 4x^{-0.5}$.Для второй дроби числитель $x - 4x^{-1}$ можно представить как $(x^{0.5})^2 - (2x^{-0.5})^2$.Таким образом, $x - 4x^{-1} = (x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5})$.Вторая дробь упрощается: $\frac{(x^{0.5} - 2x^{-0.5})(x^{0.5} + 2x^{-0.5})}{x^{0.5} - 2x^{-0.5}} = x^{0.5} + 2x^{-0.5}$.Теперь сложим полученные выражения:$(5x^{0.5} + 4x^{-0.5}) + (x^{0.5} + 2x^{-0.5}) = 6x^{0.5} + 6x^{-0.5} = 6(x^{0.5} + x^{-0.5})$.Наконец, возведем результат в квадрат, используя формулу $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$:$(6(x^{0.5} + x^{-0.5}))^2 = 36(x^{0.5} + x^{-0.5})^2 = 36((x^{0.5})^2 + 2 \cdot x^{0.5} \cdot x^{-0.5} + (x^{-0.5})^2) = 36(x + 2x^0 + x^{-1}) = 36(x + 2 + x^{-1})$.Ответ: $36(x + 2 + x^{-1})$.

2) Упростим выражение $\frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}} - \frac{y^{-2} - 1}{y^{0.5} + y^{-0.5}}$.Преобразуем третий член выражения: $-\frac{y^{-2} - 1}{y^{0.5} + y^{-0.5}} = \frac{-(y^{-2} - 1)}{y^{0.5} + y^{-0.5}} = \frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} + y^{-0.5}}$.Теперь выражение имеет вид: $\frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} - y^{-0.5}} + \frac{1 - y^{-2}}{y^{0.5} + y^{-0.5}} - \frac{2}{y^{0.5}}$.Сгруппируем первые два слагаемых, вынеся общий множитель $(1 - y^{-2})$ за скобки:$(1 - y^{-2}) \left( \frac{1}{y^{0.5} - y^{-0.5}} + \frac{1}{y^{0.5} + y^{-0.5}} \right) - \frac{2}{y^{0.5}}$.Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(y^{0.5} - y^{-0.5})(y^{0.5} + y^{-0.5}) = (y^{0.5})^2 - (y^{-0.5})^2 = y - y^{-1}$:$\frac{(y^{0.5} + y^{-0.5}) + (y^{0.5} - y^{-0.5})}{(y^{0.5} - y^{-0.5})(y^{0.5} + y^{-0.5})} = \frac{2y^{0.5}}{y - y^{-1}}$.Подставим это обратно в сгруппированное выражение:$(1 - y^{-2}) \cdot \frac{2y^{0.5}}{y - y^{-1}}$.Заменим $1 - y^{-2}$ на $\frac{y^2 - 1}{y^2}$ и $y - y^{-1}$ на $\frac{y^2-1}{y}$:$\frac{y^2-1}{y^2} \cdot \frac{2y^{0.5}}{\frac{y^2-1}{y}} = \frac{y^2-1}{y^2} \cdot \frac{2y^{0.5}y}{y^2-1}$.При условии $y \neq 1$, сокращаем $(y^2-1)$:$\frac{1}{y^2} \cdot 2y^{0.5}y = \frac{2y^{1.5}}{y^2} = 2y^{1.5-2} = 2y^{-0.5}$.Теперь вернемся к исходному выражению, подставив упрощенную часть:$2y^{-0.5} - \frac{2}{y^{0.5}} = 2y^{-0.5} - 2y^{-0.5} = 0$.Ответ: $0$.