Номер 21, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

21. Докажите, что B — целое число, если:

1) $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}};$

2) $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}};$

3) $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}};$

4) $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}.$

1)

Пусть $B = \sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}}$.

Поскольку оба слагаемых в выражении для $B$ положительны, то $B > 0$. Возведем обе части равенства в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}} + \sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

Используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$, получаем:

$B^2 = (\sqrt{37 + 20\sqrt{3}})^2 + 2\sqrt{37 + 20\sqrt{3}}\sqrt{37 - 20\sqrt{3}} + (\sqrt{37 - 20\sqrt{3}})^2$

$B^2 = (37 + 20\sqrt{3}) + 2\sqrt{(37 + 20\sqrt{3})(37 - 20\sqrt{3})} + (37 - 20\sqrt{3})$

Слагаемые с $20\sqrt{3}$ взаимно уничтожаются. Для выражения под корнем применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$B^2 = 74 + 2\sqrt{37^2 - (20\sqrt{3})^2}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 400 \cdot 3}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{1369 - 1200}$

$B^2 = 74 + 2\sqrt{169}$

$B^2 = 74 + 2 \cdot 13 = 74 + 26 = 100$

Так как $B > 0$, из $B^2=100$ следует, что $B = \sqrt{100} = 10$. Число 10 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=10$.

2)

Пусть $B = \sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}}$.

Так как $B>0$, возведем обе части в квадрат:

$B^2 = (\sqrt{55 + 14\sqrt{6}} + \sqrt{55 - 14\sqrt{6}})^2$

$B^2 = (55 + 14\sqrt{6}) + 2\sqrt{(55 + 14\sqrt{6})(55 - 14\sqrt{6})} + (55 - 14\sqrt{6})$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{55^2 - (14\sqrt{6})^2}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 196 \cdot 6}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{3025 - 1176}$

$B^2 = 110 + 2\sqrt{1849}$

$B^2 = 110 + 2 \cdot 43 = 110 + 86 = 196$

Так как $B > 0$, то $B = \sqrt{196} = 14$. Число 14 является целым, что и требовалось доказать.

Ответ: $B=14$.

3)

Пусть $B = \sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}$.

Возведем обе части равенства в куб, используя формулу $(x+y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x+y)$:

$B^3 = (\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}})^3 + (\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}})^3 + 3\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}}\sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}}(\sqrt[3]{26 + 15\sqrt{3}} + \sqrt[3]{26 - 15\sqrt{3}})$

Заметим, что выражение в скобках в конце равно $B$.

$B^3 = (26 + 15\sqrt{3}) + (26 - 15\sqrt{3}) + 3\sqrt[3]{(26 + 15\sqrt{3})(26 - 15\sqrt{3})} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{26^2 - (15\sqrt{3})^2} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 225 \cdot 3} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{676 - 675} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3\sqrt[3]{1} \cdot B$

$B^3 = 52 + 3B$

Мы получили кубическое уравнение относительно $B$: $B^3 - 3B - 52 = 0$.

Найдем целый корень этого уравнения, проверив делители свободного члена (-52): $\pm1, \pm2, \pm4, \dots$

При $B=4$: $4^3 - 3(4) - 52 = 64 - 12 - 52 = 0$.

Таким образом, $B=4$ является корнем уравнения. Можно показать, что это единственный действительный корень. Так как $B$ — действительное число, то $B=4$. Число 4 является целым.

Ответ: $B=4$.

4)

Рассмотрим выражение $B = \sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45} + \sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$.

В данном виде выражение не является целым числом. Чтобы это показать, возведем $B$ в куб:

$B^3 = (u+v)^3 = u^3+v^3+3uv(u+v)$, где $u=\sqrt[3]{29\sqrt{2} - 45}$ и $v=\sqrt[3]{29\sqrt{2} + 45}$.

$u^3+v^3 = (29\sqrt{2} - 45) + (29\sqrt{2} + 45) = 58\sqrt{2}$.

$uv = \sqrt[3]{(29\sqrt{2} - 45)(29\sqrt{2} + 45)} = \sqrt[3]{(29\sqrt{2})^2 - 45^2} = \sqrt[3]{1682 - 2025} = \sqrt[3]{-343} = -7$.

Подставляем в формулу для $B^3$: $B^3 = 58\sqrt{2} + 3(-7)B$, что приводит к уравнению $B^3 + 21B = 58\sqrt{2}$.

Если предположить, что $B$ — целое число, то левая часть уравнения ($B^3 + 21B$) также будет целым числом. Однако правая часть ($58\sqrt{2}$) является иррациональным числом. Равенство между целым и иррациональным числом невозможно. Следовательно, в условии задачи, вероятно, допущена опечатка.

Наиболее вероятная опечатка — это порядок слагаемых под первым кубическим корнем. Решим исправленную задачу:

$B = \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}} + \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$

Применим тот же метод, что и в пункте 3. Пусть $x = \sqrt[3]{45 + 29\sqrt{2}}$ и $y = \sqrt[3]{45 - 29\sqrt{2}}$. Тогда $B = x+y$.

$B^3 = x^3+y^3+3xy(x+y)$.

$x^3+y^3 = (45+29\sqrt{2}) + (45-29\sqrt{2}) = 90$.

$xy = \sqrt[3]{(45+29\sqrt{2})(45-29\sqrt{2})} = \sqrt[3]{45^2 - (29\sqrt{2})^2} = \sqrt[3]{2025 - 1682} = \sqrt[3]{343} = 7$.

Подставляем в формулу для $B^3$:

$B^3 = 90 + 3(7)B$

$B^3 - 21B - 90 = 0$.

Найдем целый корень уравнения, проверив делители свободного члена (-90).

При $B=6$: $6^3 - 21(6) - 90 = 216 - 126 - 90 = 0$.

Таким образом, $B=6$ является единственным действительным корнем уравнения. Число 6 является целым.

Ответ: при исправленном условии $B=6$.