Номер 17, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

17. 1)

$\left( \frac{x^{\frac{1}{2}} + 4}{x^{1.5} - 4x} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{x^{1.5} + 4x} \right) : \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}}}$

2)

$\left( \frac{5}{y - 5y^{\frac{1}{2}}} - \frac{y^{1.5}}{y^2 - 25} \right) : \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}} + 5}$

1) Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю.

Вынесем общие множители в знаменателях:

$x^{1.5} - 4x = x \cdot x^{0.5} - 4x = x(x^{0.5} - 4)$

$x^{1.5} + 4x = x \cdot x^{0.5} + 4x = x(x^{0.5} + 4)$

Теперь выражение в скобках имеет вид:

$ \frac{x^{\frac{1}{2}} + 4}{x(x^{\frac{1}{2}} - 4)} - \frac{x^{\frac{1}{2}} - 4}{x(x^{\frac{1}{2}} + 4)} $

Общий знаменатель: $x(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)$. Приводим дроби к нему:

$ \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4) - (x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} - 4)}{x(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4)} = \frac{(x^{\frac{1}{2}} + 4)^2 - (x^{\frac{1}{2}} - 4)^2}{x((x^{\frac{1}{2}})^2 - 4^2)} $

В числителе применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ (x^{\frac{1}{2}} + 4)^2 - (x^{\frac{1}{2}} - 4)^2 = ((x^{\frac{1}{2}} + 4) - (x^{\frac{1}{2}} - 4))((x^{\frac{1}{2}} + 4) + (x^{\frac{1}{2}} - 4)) = (8)(2x^{\frac{1}{2}}) = 16x^{\frac{1}{2}} $

В знаменателе также применим формулу разности квадратов: $x(x^{\frac{1}{2}} - 4)(x^{\frac{1}{2}} + 4) = x(x-16)$.

Результат первого действия:

$ \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x - 16)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x - 16)} : \frac{x - 16}{x^{\frac{1}{2}}} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$ \frac{16x^{\frac{1}{2}}}{x(x - 16)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x - 16} = \frac{16 \cdot x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}}}{x(x-16)^2} = \frac{16x}{x(x - 16)^2} $

Сократим $x$:

$ \frac{16}{(x-16)^2} $

Ответ: $ \frac{16}{(x - 16)^2} $

2) Упростим выражение в скобках. Сначала разложим знаменатели на множители.

$y - 5y^{\frac{1}{2}} = y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)$

$y^2 - 25y = y(y - 25) = y((y^{\frac{1}{2}})^2 - 5^2) = y(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)$

Упростим вторую дробь в скобках, учитывая, что $y^{1.5} = y \cdot y^{\frac{1}{2}}$:

$ \frac{y^{1.5}}{y^2 - 25y} = \frac{y \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} $

Теперь выполним вычитание в скобках:

$ \frac{5}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)} - \frac{y^{\frac{1}{2}}}{(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} $

Общий знаменатель: $y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)$.

$ \frac{5(y^{\frac{1}{2}} + 5) - y^{\frac{1}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} = \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}}(y - 25)} $

Теперь выполним деление:

$ \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}}(y - 25)} : \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}} + 5} $

Заменим деление на умножение на обратную дробь и представим $y-25$ как $(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)$:

$ \frac{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)(y^{\frac{1}{2}} + 5)} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}} + 5}{5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y} $

Сократим одинаковые множители $(5y^{\frac{1}{2}} + 25 - y)$ и $(y^{\frac{1}{2}} + 5)$:

$ \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)} $

Результат можно оставить в таком виде или раскрыть скобки в знаменателе:

$ \frac{1}{y - 5y^{\frac{1}{2}}} $

Ответ: $ \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}(y^{\frac{1}{2}} - 5)} $