Номер 13, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Докажите, что функции $F(x)$ являются первообразными для функции $f(x)$ (13–15):

13. 1)

$F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$, $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$, $x \in (3; +\infty)$;

2)

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$, $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$, $x \in (0; +\infty)$;

3)

$F(x) = x^3 - 3\sin x$, $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$, $x \in R$;

4)

$F(x) = 2\cos(4x-1) + 7x^7$, $f(x) = -8\sin(4x-1) + 49x^6$, $x \in R$.

Для того чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, необходимо показать, что на этом промежутке выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

1) Даны функции $F(x) = 4\sqrt{x-3} + 2$ и $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$ на промежутке $x \in (3; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Для удобства представим корень в виде степени:

$F(x) = 4(x-3)^{\frac{1}{2}} + 2$

Используя правило дифференцирования степенной и сложной функции, получаем:

$F'(x) = (4(x-3)^{\frac{1}{2}} + 2)' = 4 \cdot \frac{1}{2}(x-3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x-3)' + (2)'$

$F'(x) = 2(x-3)^{-\frac{1}{2}} \cdot 1 + 0 = \frac{2}{(x-3)^{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{\sqrt{x-3}}$

Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(3; +\infty)$.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

2) Даны функции $F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16\sqrt{x}$ и $f(x) = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$:

$F(x) = \frac{1}{12}x^6 - 16x^{\frac{1}{2}}$

Дифференцируем по правилу для степенной функции:

$F'(x) = (\frac{1}{12}x^6 - 16x^{\frac{1}{2}})' = \frac{1}{12} \cdot 6x^{6-1} - 16 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$

$F'(x) = \frac{6}{12}x^5 - 8x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^5 - \frac{8}{x^{\frac{1}{2}}} = \frac{x^5}{2} - \frac{8}{\sqrt{x}}$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

3) Даны функции $F(x) = x^3 - 3\sin x$ и $f(x) = 3x^2 - 3\cos x$ на множестве $x \in R$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (x^3 - 3\sin x)' = (x^3)' - (3\sin x)'$

Используем табличные производные:

$F'(x) = 3x^2 - 3\cos x$

Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на множестве всех действительных чисел.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.

4) Даны функции $F(x) = 2\cos(4x - 1) + 7x^7$ и $f(x) = -8\sin(4x - 1) + 49x^6$ на множестве $x \in R$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (2\cos(4x - 1) + 7x^7)' = (2\cos(4x - 1))' + (7x^7)'$

Для первого слагаемого применяем правило дифференцирования сложной функции:

$(2\cos(4x - 1))' = 2 \cdot (-\sin(4x - 1)) \cdot (4x - 1)' = -2\sin(4x - 1) \cdot 4 = -8\sin(4x - 1)$

Для второго слагаемого применяем правило для степенной функции:

$(7x^7)' = 7 \cdot 7x^{7-1} = 49x^6$

Складываем полученные производные:

$F'(x) = -8\sin(4x - 1) + 49x^6$

Поскольку $F'(x) = f(x)$, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на множестве всех действительных чисел.

Ответ: Доказано, так как $F'(x) = f(x)$.