Номер 9, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

9. 1) $25^{2.5} - \left(\frac{1}{4}\right)^{-1.5} + \left(\frac{5}{3}\right)^{2.7} \cdot (0,6)^{2.7};$

2) $\left(\frac{1}{9}\right)^{-1.5} + 8^3 - \left(\frac{2}{7}\right)^6 \cdot \left(3\frac{1}{2}\right)^6;$

3) $16^{1.5} - \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{4}{3}} + \left(\frac{2}{3}\right)^{0.19} \cdot (1,5)^{0.19};$

4) $81^{0.25} + \left(\frac{1}{32}\right)^{\frac{2}{5}} - (0,15)^{-0.35} \cdot \left(6\frac{2}{3}\right)^{-0.35};$

5) $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^6}{4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}} \cdot 4\left(4^{\frac{1}{3}}\right)^4;$

6) $\frac{25^{\frac{3}{2}} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^2}{125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2}} \cdot \left(25^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}.$

1)

Для решения данного выражения, вычислим каждое слагаемое по отдельности, используя свойства степеней: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $(ab)^n = a^n b^n$.

1. Вычислим $25^{2.5}$:

$25^{2.5} = 25^{5/2} = (5^2)^{5/2} = 5^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 5^5 = 3125$.

2. Вычислим $(\frac{1}{4})^{-1.5}$:

$(\frac{1}{4})^{-1.5} = (\frac{1}{4})^{-3/2} = 4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3 = 8$.

3. Вычислим $(\frac{5}{3})^{2.7} \cdot (0.6)^{2.7}$. Сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0.6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

$(\frac{5}{3})^{2.7} \cdot (\frac{3}{5})^{2.7} = (\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5})^{2.7} = 1^{2.7} = 1$.

4. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$3125 - 8 + 1 = 3118$.

Ответ: $3118$

2)

Решим выражение по частям.

1. Вычислим $(\frac{1}{9})^{-1.5}$:

$(\frac{1}{9})^{-1.5} = (\frac{1}{9})^{-3/2} = 9^{3/2} = (3^2)^{3/2} = 3^3 = 27$.

2. Вычислим $8^{\frac{4}{3}}$:

$8^{\frac{4}{3}} = (2^3)^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16$.

3. Вычислим $(\frac{2}{7})^6 \cdot (3\frac{1}{2})^6$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

$(\frac{2}{7})^6 \cdot (\frac{7}{2})^6 = (\frac{2}{7} \cdot \frac{7}{2})^6 = 1^6 = 1$.

4. Соберем все части вместе:

$27 + 16 - 1 = 43 - 1 = 42$.

Ответ: $42$

3)

Решим выражение по частям.

1. Вычислим $16^{1.5}$:

$16^{1.5} = 16^{3/2} = (4^2)^{3/2} = 4^3 = 64$.

2. Вычислим $(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}}$:

$(\frac{1}{27})^{-\frac{4}{3}} = 27^{\frac{4}{3}} = (3^3)^{\frac{4}{3}} = 3^4 = 81$.

3. Вычислим $(\frac{2}{3})^{0.19} \cdot (1.5)^{0.19}$. Преобразуем $1.5 = \frac{3}{2}$.

$(\frac{2}{3})^{0.19} \cdot (\frac{3}{2})^{0.19} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^{0.19} = 1^{0.19} = 1$.

4. Подставим значения в выражение:

$64 - 81 + 1 = -17 + 1 = -16$.

Ответ: $-16$

4)

Решим выражение по частям.

1. Вычислим $81^{0.25}$:

$81^{0.25} = 81^{1/4} = (3^4)^{1/4} = 3$.

2. Вычислим $(\frac{1}{32})^{-\frac{2}{5}}$:

$(\frac{1}{32})^{-\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}} = (2^5)^{\frac{2}{5}} = 2^2 = 4$.

3. Вычислим $(0.15)^{-0.35} \cdot (6\frac{2}{3})^{-0.35}$. Преобразуем десятичную дробь и смешанное число: $0.15 = \frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ и $6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.

$(\frac{3}{20})^{-0.35} \cdot (\frac{20}{3})^{-0.35} = (\frac{3}{20} \cdot \frac{20}{3})^{-0.35} = 1^{-0.35} = 1$.

4. Соберем все части вместе:

$3 + 4 - 1 = 6$.

Ответ: $6$

5)

Для упрощения выражения представим все основания степеней через число 4.

$16 = 4^2$, $64 = 4^3$, $\frac{1}{4} = 4^{-1}$.

Исходное выражение: $\frac{16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6}{4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}}} \cdot 4(4^{\frac{1}{3}})^4$.

1. Рассмотрим знаменатель дроби:

$4^{\frac{1}{3}} \cdot 64^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot (4^3)^{\frac{2}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 4^{\frac{1}{3}} \cdot 4^2 = 4^{\frac{1}{3} + 2} = 4^{\frac{7}{3}}$.

2. Рассмотрим второй множитель:

$4(4^{\frac{1}{3}})^4 = 4^1 \cdot 4^{\frac{1}{3} \cdot 4} = 4^1 \cdot 4^{\frac{4}{3}} = 4^{1 + \frac{4}{3}} = 4^{\frac{7}{3}}$.

3. Заметим, что знаменатель дроби равен второму множителю. Таким образом, они сокращаются:

$\frac{\text{числитель}}{\cancel{4^{\frac{7}{3}}}} \cdot \cancel{4^{\frac{7}{3}}} = \text{числитель}$.

4. Вычислим значение числителя:

$16^{\frac{2}{3}} \cdot (\frac{1}{4})^6 = (4^2)^{\frac{2}{3}} \cdot (4^{-1})^6 = 4^{2 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 4^{-1 \cdot 6} = 4^{\frac{4}{3}} \cdot 4^{-6} = 4^{\frac{4}{3} - 6} = 4^{\frac{4-18}{3}} = 4^{-\frac{14}{3}}$.

Ответ: $4^{-\frac{14}{3}}$

6)

Для упрощения выражения представим все основания степеней через число 5.

$25 = 5^2$, $125 = 5^3$, $\frac{1}{5} = 5^{-1}$.

Исходное выражение: $\frac{25^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{5})^2}{125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2}} \cdot (25^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$.

1. Упростим дробь.

Числитель: $25^{\frac{3}{2}} \cdot (\frac{1}{5})^2 = (5^2)^{\frac{3}{2}} \cdot (5^{-1})^2 = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} \cdot 5^{-2} = 5^3 \cdot 5^{-2} = 5^{3-2} = 5^1 = 5$.

Знаменатель: $125^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = (5^3)^{\frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = 5^{3 \cdot \frac{2}{3}} \cdot 5^{-2} = 5^2 \cdot 5^{-2} = 5^{2-2} = 5^0 = 1$.

Значение дроби: $\frac{5}{1} = 5$.

2. Упростим второй множитель, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(25^{-\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}} = 25^{-\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 25^{-\frac{1}{2}} = (5^2)^{-\frac{1}{2}} = 5^{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 5^{-1}$.

3. Перемножим полученные значения:

$5 \cdot 5^{-1} = 5^{1-1} = 5^0 = 1$.

Ответ: $1$