Номер 2, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2. 1)$\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5 dx}{\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 5x\right)};$

2)$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \left(\cos^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right) dx;$

3)$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3 dx}{\sin^2\left(\frac{\pi}{12} + 3x\right)};$

4)$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \left(\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\right) dx.$

2. 1)

Для вычисления данного определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5 dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)}$ воспользуемся методом замены переменной. Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2(u)}$ есть $\tan(u)$.

Сделаем замену: пусть $u = \frac{\pi}{8} + 5x$.

Тогда дифференциал $du = d(\frac{\pi}{8} + 5x) = (0 + 5)dx = 5 dx$.

Выражение под интегралом преобразуется к виду $\int \frac{du}{\cos^2(u)}$, что является табличным интегралом. Его первообразная равна $\tan(u)$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем первообразную $F(x) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5x)$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$ \int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5 dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} = \tan(\frac{\pi}{8} + 5x) \Big|_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} = \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{40}) - \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{120}) $

Вычислим значения в точках:

Верхний предел: $\tan(\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{40}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{2\pi}{8}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Нижний предел: $\tan(\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{120}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{4\pi}{24}) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, значение интеграла равно $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. 2)

Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} (\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{4})) dx$ используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

В нашем случае $\alpha = 3x - \frac{\pi}{4}$. Тогда подынтегральное выражение равно:

$\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{4}) = \cos(2(3x - \frac{\pi}{4})) = \cos(6x - \frac{\pi}{2})$.

Используем формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 6x$.

Получаем: $\cos(6x - \frac{\pi}{2}) = \sin(6x)$.

Теперь интеграл имеет вид $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx$.

Первообразная для $\sin(6x)$ равна $-\frac{1}{6}\cos(6x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx = -\frac{1}{6}\cos(6x) \Big|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} = -\frac{1}{6}(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{36}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{18}))$.

Вычислим значения:

$-\frac{1}{6}(\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{6}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{3}}{12}$.

2. 3)

Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3 dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)}$ используем метод замены переменной. Первообразная для функции $\frac{1}{\sin^2(u)}$ есть $-\cot(u)$.

Сделаем замену: пусть $u = \frac{\pi}{12} + 3x$.

Тогда дифференциал $du = d(\frac{\pi}{12} + 3x) = 3 dx$.

Подставляя в интеграл, получаем $\int \frac{du}{\sin^2(u)} = -\cot(u)$.

Возвращаясь к переменной $x$, находим первообразную $F(x) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3 dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3x) \Big|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{12}) - (-\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{18}))$.

Вычислим значения в точках:

Верхний предел: $-\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{4\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Нижний предел: $-\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{18}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}) = -\cot(\frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Таким образом, значение интеграла равно $-\frac{\sqrt{3}}{3} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. 4)

Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} (\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x)) dx$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Подынтегральное выражение можно переписать так:

$\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) = -(\cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x)) = -\cos(2(\frac{\pi}{4} + 2x))$.

Упростим аргумент косинуса: $-\cos(\frac{2\pi}{4} + 4x) = -\cos(\frac{\pi}{2} + 4x)$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 4x$.

Получаем: $-\cos(\frac{\pi}{2} + 4x) = -(-\sin(4x)) = \sin(4x)$.

Интеграл принимает вид $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx$.

Первообразная для $\sin(4x)$ равна $-\frac{1}{4}\cos(4x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) \Big|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} = -\frac{1}{4}(\cos(4 \cdot \frac{\pi}{24}) - \cos(4 \cdot \frac{\pi}{12}))$.

Вычислим значения:

$-\frac{1}{4}(\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{3}}{8}$.