Номер 6, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. По вариационному ряду относительных частот найдите среднее значение и дисперсию:

A) $\overline{X} = 14,68; \overline{D} = 405,99;$

B) $\overline{X} = 15,68; \overline{D} = 406,99;$

C) $\overline{X} = 15; \overline{D} = 405,99;$

D) $\overline{X} = 14,4; \overline{D} = 406,99;$

E) $\overline{X} = 14,4; \overline{D} = 406,99.$

Интервалы [10; 20) [20; 30) [30; 40)

$x_i^*$ 15 25 35

$n_i$ 5 9 8

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,36 0,32

1. Нахождение среднего значения

Для нахождения среднего значения выборочной совокупности, представленной в виде интервального вариационного ряда, используется формула для взвешенного среднего арифметического:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^* n_i}{n}$

где $x_i^*$ — середина i-го интервала (варианта), $n_i$ — частота i-го интервала, а $n$ — общий объем выборки, равный сумме всех частот ($n = \sum_{i=1}^{k} n_i$).

Из таблицы берем значения середин интервалов $x_i^*$ и соответствующие им частоты $n_i$:

$x_1^* = 15$ с частотой $n_1 = 5$

$x_2^* = 25$ с частотой $n_2 = 9$

$x_3^* = 35$ с частотой $n_3 = 8$

Сначала найдем общий объем выборки $n$:

$n = n_1 + n_2 + n_3 = 5 + 9 + 8 = 22$

Теперь вычислим среднее значение $\bar{X}$:

$\bar{X} = \frac{15 \cdot 5 + 25 \cdot 9 + 35 \cdot 8}{22} = \frac{75 + 225 + 280}{22} = \frac{580}{22} \approx 26,36$

2. Нахождение дисперсии

Для нахождения несмещенной выборочной дисперсии $\bar{D}$ используется формула:

$\bar{D} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i^* - \bar{X})^2 n_i}{n-1}$

Для удобства вычислений можно использовать другую формулу:

$\bar{D} = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 n_i - n(\bar{X})^2 \right)$

Найдем сумму квадратов вариант, взвешенных по частотам:

$\sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 n_i = 15^2 \cdot 5 + 25^2 \cdot 9 + 35^2 \cdot 8 = 225 \cdot 5 + 625 \cdot 9 + 1225 \cdot 8 = 1125 + 5625 + 9800 = 16550$

Теперь подставим все значения в формулу для дисперсии:

$\bar{D} = \frac{1}{22-1} \left( 16550 - 22 \cdot (26,3636...)^2 \right) = \frac{1}{21} \left( 16550 - 22 \cdot (\frac{580}{22})^2 \right) = \frac{1}{21} \left( 16550 - \frac{580^2}{22} \right)$

$\bar{D} = \frac{1}{21} \left( 16550 - \frac{336400}{22} \right) \approx \frac{1}{21} (16550 - 15290,91) = \frac{1259,09}{21} \approx 59,96$

Полученные в результате расчетов значения $\bar{X} \approx 26,36$ и $\bar{D} \approx 59,96$ не соответствуют ни одному из предложенных вариантов ответа. В условии задачи, по всей видимости, содержится ошибка, так как данные в строках для абсолютных частот ($n_i$) и относительных частот ($n_i/n$) противоречат друг другу (сумма относительных частот $0,2 + 0,36 + 0,32 = 0,88$, что не равно 1). Из-за этих несоответствий невозможно получить ни один из предложенных ответов стандартными методами.

Ответ: На основании данных из таблицы, правильные значения среднего и дисперсии составляют $\bar{X} \approx 26,36$ и $\bar{D} \approx 59,96$. Ни один из предложенных вариантов A, B, C, D, E не является верным.