Номер 3, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. 1) $\int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx;$

2) $\int_4^9 (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})dx;$

3) $\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx;$

4) $\int_8^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}})dx.$

1) Решим интеграл $ \int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx $.

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = x^3 + x^{-3} $. Используя табличное значение интеграла для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, получаем:

$ F(x) = \int (x^3 + x^{-3}) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^4}{4} + \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} $.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$ \int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx = \left. \left(\frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2}\right) \right|_1^2 = \left(\frac{2^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(\frac{1^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) $

$ = \left(\frac{16}{4} - \frac{1}{8}\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \left(4 - \frac{1}{8}\right) - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{32-1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{31}{8} + \frac{2}{8} = \frac{33}{8} $.

Ответ: $ \frac{33}{8} $.

2) Решим интеграл $ \int_4^9 (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})dx $.

Сначала представим подынтегральную функцию в виде степеней: $ f(x) = x^{1/2} + 2x^{-1/2} $.

Найдем первообразную для $ f(x) $:

$ F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{-1/2}) dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_4^9 (x^{1/2} + 2x^{-1/2})dx = \left. \left(\frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2}\right) \right|_4^9 = \left(\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} + 4 \cdot 9^{1/2}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} + 4 \cdot 4^{1/2}\right) $

$ = \left(\frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 + 4 \cdot \sqrt{9}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 + 4 \cdot \sqrt{4}\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 3^3 + 4 \cdot 3\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 4 \cdot 2\right) $

$ = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 + 12\right) - \left(\frac{16}{3} + 8\right) = (18 + 12) - \left(\frac{16}{3} + \frac{24}{3}\right) = 30 - \frac{40}{3} = \frac{90 - 40}{3} = \frac{50}{3} $.

Ответ: $ \frac{50}{3} $.

3) Решим интеграл $ \int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 5 - 3x^{-2} - 3x^2 $:

$ F(x) = \int (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx = 5x - 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5x - 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = 5x + 3x^{-1} - x^3 = 5x + \frac{3}{x} - x^3 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx = \left. \left(5x + \frac{3}{x} - x^3\right) \right|_{-2}^{-1} $

$ = \left(5(-1) + \frac{3}{-1} - (-1)^3\right) - \left(5(-2) + \frac{3}{-2} - (-2)^3\right) $

$ = (-5 - 3 - (-1)) - \left(-10 - \frac{3}{2} - (-8)\right) = (-8 + 1) - \left(-10 - \frac{3}{2} + 8\right) = -7 - \left(-2 - \frac{3}{2}\right) $

$ = -7 - \left(-\frac{4}{2} - \frac{3}{2}\right) = -7 - \left(-\frac{7}{2}\right) = -7 + \frac{7}{2} = -\frac{14}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} $.

Ответ: $ -\frac{7}{2} $.

4) Решим интеграл $ \int_8^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}})dx $. (Примечание: исходя из структуры других заданий, предполагается, что второй член имеет степень $ -\frac{2}{3} $, так как знак в условии нечеткий).

Найдем первообразную для функции $ f(x) = x^{2/3} + 3x^{-2/3} $:

$ F(x) = \int (x^{2/3} + 3x^{-2/3}) dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + 3 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{5/3}}{5/3} + 3 \cdot \frac{x^{1/3}}{1/3} = \frac{3}{5}x^{5/3} + 9x^{1/3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_8^{27} (x^{2/3} + 3x^{-2/3})dx = \left. \left(\frac{3}{5}x^{5/3} + 9x^{1/3}\right) \right|_8^{27} $

$ = \left(\frac{3}{5} \cdot 27^{5/3} + 9 \cdot 27^{1/3}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 8^{5/3} + 9 \cdot 8^{1/3}\right) $

$ = \left(\frac{3}{5} \cdot (\sqrt[3]{27})^5 + 9 \cdot \sqrt[3]{27}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot (\sqrt[3]{8})^5 + 9 \cdot \sqrt[3]{8}\right) $

$ = \left(\frac{3}{5} \cdot 3^5 + 9 \cdot 3\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 2^5 + 9 \cdot 2\right) = \left(\frac{3}{5} \cdot 243 + 27\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 32 + 18\right) $

$ = \left(\frac{729}{5} + \frac{135}{5}\right) - \left(\frac{96}{5} + \frac{90}{5}\right) = \frac{864}{5} - \frac{186}{5} = \frac{678}{5} $.

Ответ: $ \frac{678}{5} $.