Номер 5, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5. 1) $\int_{0}^{2}(e^{3x} + 1)dx;$

2) $\int_{1}^{e}\frac{x^2 + 1}{2x^3} dx;$

3) $\int_{-1}^{0}\frac{3}{(5x - 1)^3} dx;$

4) $\int_{0}^{4}\frac{4}{(2x + 1)^3} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx $ воспользуемся свойством линейности интеграла и формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^{3x} + 1$.

$ \int (e^{3x} + 1) dx = \int e^{3x} dx + \int 1 dx = \frac{1}{3}e^{3x} + x + C $

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

$ \int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx = \left. \left( \frac{1}{3}e^{3x} + x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} + 0 \right) $

$ = \left( \frac{e^6}{3} + 2 \right) - \left( \frac{e^0}{3} \right) = \frac{e^6}{3} + 2 - \frac{1}{3} = \frac{e^6}{3} + \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{e^6 + 5}{3} $

Ответ: $ \frac{e^6 + 5}{3} $

2) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{2x^3} dx $ сначала преобразуем подынтегральную функцию.

$ \frac{x^2 + 1}{2x^3} = \frac{x^2}{2x^3} + \frac{1}{2x^3} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3} $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3} \right) dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{-3} dx $

Найдем первообразные и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left. \left( \frac{1}{2}\ln|x| + \frac{1}{2}\frac{x^{-2}}{-2} \right) \right|_{1}^{2} = \left. \left( \frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{4x^2} \right) \right|_{1}^{2} $

Подставляем пределы интегрирования:

$ = \left( \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{4 \cdot 2^2} \right) - \left( \frac{1}{2}\ln 1 - \frac{1}{4 \cdot 1^2} \right) = \left( \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{16} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) $

$ = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{3}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{3}{16} $

3) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x - 1)^3} dx $.

Используем метод замены переменной. Пусть $ t = 5x - 1 $. Тогда $ dt = 5dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{5} $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = -1 $, то $ t = 5(-1) - 1 = -6 $.

Если $ x = 0 $, то $ t = 5(0) - 1 = -1 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{-6}^{-1} \frac{3}{t^3} \frac{dt}{5} = \frac{3}{5} \int_{-6}^{-1} t^{-3} dt $

Находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{3}{5} \left. \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) \right|_{-6}^{-1} = -\frac{3}{10} \left. \left( \frac{1}{t^2} \right) \right|_{-6}^{-1} = -\frac{3}{10} \left( \frac{1}{(-1)^2} - \frac{1}{(-6)^2} \right) $

$ = -\frac{3}{10} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{36} \right) = -\frac{3}{10} \left( \frac{36-1}{36} \right) = -\frac{3}{10} \cdot \frac{35}{36} = -\frac{3 \cdot 35}{10 \cdot 36} = -\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 12} = -\frac{7}{24} $

Ответ: $ -\frac{7}{24} $

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{4} \frac{4}{(2x + 1)^3} dx $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ t = 2x + 1 $. Тогда $ dt = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = 0 $, то $ t = 2(0) + 1 = 1 $.

Если $ x = 4 $, то $ t = 2(4) + 1 = 9 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{1}^{9} \frac{4}{t^3} \frac{dt}{2} = 2 \int_{1}^{9} t^{-3} dt $

Находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ 2 \left. \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) \right|_{1}^{9} = - \left. \left( \frac{1}{t^2} \right) \right|_{1}^{9} = - \left( \frac{1}{9^2} - \frac{1}{1^2} \right) $

$ = - \left( \frac{1}{81} - 1 \right) = - \left( -\frac{80}{81} \right) = \frac{80}{81} $

Ответ: $ \frac{80}{81} $