Номер 11, страница 142 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

11. Найдите:

1) значение a, если $log_3a = \frac{1}{2}$;

2) значение b, если $log_b\frac{1}{81} = -4$;

3) значение c, если $log_6c = 3$;

4) значение m, если $log_m 0,25 = -4$.

1) значение a, если $\log_3 a = \frac{1}{2}$

По определению логарифма, равенство $\log_x y = z$ эквивалентно $x^z = y$.

Применяя это определение к данному уравнению, получаем: $a = 3^{\frac{1}{2}}$.

Возведение в степень $\frac{1}{2}$ — это то же самое, что и извлечение квадратного корня.

Следовательно, $a = \sqrt{3}$.

Ответ: $a = \sqrt{3}$.

2) значение b, если $\log_b \frac{1}{81} = -4$

Используя определение логарифма, перепишем уравнение в показательной форме: $b^{-4} = \frac{1}{81}$.

Свойство отрицательной степени гласит, что $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Применим его к левой части уравнения: $\frac{1}{b^4} = \frac{1}{81}$.

Отсюда следует, что знаменатели равны: $b^4 = 81$.

Чтобы найти $b$, нужно извлечь корень четвертой степени из 81. Мы знаем, что $81 = 3^4$.

Таким образом, $b^4 = 3^4$.

Поскольку основание логарифма $b$ должно быть положительным числом, не равным 1, то $b=3$.

Ответ: $b = 3$.

3) значение c, если $\log_6 c = 3$

Согласно определению логарифма, данное уравнение можно записать в виде $6^3 = c$.

Теперь необходимо вычислить значение $6^3$:

$c = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216$.

Ответ: $c = 216$.

4) значение m, если $\log_m 0,25 = -4$

Перепишем логарифмическое уравнение в виде показательного, используя определение логарифма: $m^{-4} = 0,25$.

Представим десятичную дробь $0,25$ в виде обыкновенной дроби: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

Уравнение принимает вид: $m^{-4} = \frac{1}{4}$.

Используем свойство отрицательной степени: $\frac{1}{m^4} = \frac{1}{4}$.

Отсюда получаем, что $m^4 = 4$.

Для нахождения $m$ извлечем корень четвертой степени из обеих частей уравнения. Так как основание логарифма $m$ должно быть положительным, мы ищем только положительное значение корня.

$m = \sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{\frac{2}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $m = \sqrt{2}$.