Номер 8, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

8. 1) $\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}};$

2) $\sqrt[4]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[4]{7 - \sqrt{17}};$

3) $\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}};$

4) $\sqrt[4]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{7 + 4\sqrt{3}}.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и формулой сокращенного умножения для разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})}$.

Применим формулу разности квадратов к подкоренному выражению:

$(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3.

2) Решение аналогично предыдущему пункту. Используем свойство произведения корней и формулу разности квадратов.

$\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}} = \sqrt[5]{(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17})}$.

Упростим подкоренное выражение:

$(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17}) = 7^2 - (\sqrt{17})^2 = 49 - 17 = 32$.

Вычислим значение корня:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: 2.

3) Применим те же правила, что и в предыдущих примерах.

$\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}} = \sqrt[6]{(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17})}$.

Упростим выражение под корнем, используя формулу разности квадратов:

$(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$.

Теперь вычислим корень:

$\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.

Ответ: 2.

4) Решаем по аналогии с предыдущими заданиями.

$\sqrt[3]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$.

Применим формулу разности квадратов к подкоренному выражению:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2$.

Вычислим квадрат второго слагаемого: $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.

Подставим результат в выражение: $7^2 - 48 = 49 - 48 = 1$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[3]{1} = 1$.

Ответ: 1.