Страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите интегралы (1—5):

1. 1) $\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx;$

2) $\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx;$

3) $\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx;$

4) $\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx$ сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 1 - 3x^2$. Используя таблицу интегралов, получаем:$F(x) = \int (1 - 3x^2)dx = \int 1dx - \int 3x^2dx = x - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = x - x^3 + C$.Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$:$\int_{-1}^{0} (1 - 3x^2)dx = (x - x^3) \vert_{-1}^{0} = (0 - 0^3) - ((-1) - (-1)^3) = 0 - (-1 - (-1)) = 0 - (-1 + 1) = 0$.Ответ: $0$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx$ найдем первообразную для функции $f(x) = x^3 - 2x^2 + x + 1$:$F(x) = \int (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx = \frac{x^4}{4} - 2\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$.Применим формулу Ньютона-Лейбница:$\int_{0}^{1} (x^3 - 2x^2 + x + 1)dx = (\frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x) \vert_{0}^{1} = (\frac{1^4}{4} - \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} + 1) - (\frac{0^4}{4} - \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{0^2}{2} + 0) = \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + 1$.Приведем дроби к общему знаменателю 12:$\frac{3}{12} - \frac{8}{12} + \frac{6}{12} + \frac{12}{12} = \frac{3 - 8 + 6 + 12}{12} = \frac{13}{12}$.Ответ: $\frac{13}{12}$.

3) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx$ воспользуемся методом замены переменной.Пусть $t = 2 + x$. Тогда $dt = d(2+x) = dx$.Найдем новые пределы интегрирования:если $x = 0$, то $t = 2 + 0 = 2$.если $x = 1$, то $t = 2 + 1 = 3$.Подставим новую переменную и новые пределы в интеграл:$\int_{0}^{1} (2 + x)^3 dx = \int_{2}^{3} t^3 dt$.Найдем первообразную для $f(t) = t^3$: $F(t) = \frac{t^4}{4}$.Применим формулу Ньютона-Лейбница:$\int_{2}^{3} t^3 dt = \frac{t^4}{4} \vert_{2}^{3} = \frac{3^4}{4} - \frac{2^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{16}{4} = \frac{65}{4}$.Ответ: $\frac{65}{4}$.

4) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx$ также используем метод замены переменной.Пусть $t = 4 - x$. Тогда $dt = d(4-x) = -dx$, откуда следует, что $dx = -dt$.Найдем новые пределы интегрирования:если $x = 2$, то $t = 4 - 2 = 2$.если $x = 3$, то $t = 4 - 3 = 1$.Подставим в интеграл:$\int_{2}^{3} (4 - x)^4 dx = \int_{2}^{1} t^4 (-dt) = -\int_{2}^{1} t^4 dt$.Воспользуемся свойством определенного интеграла $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$, чтобы поменять пределы интегрирования и убрать знак минуса:$-\int_{2}^{1} t^4 dt = \int_{1}^{2} t^4 dt$.Найдем первообразную для $f(t) = t^4$: $F(t) = \frac{t^5}{5}$.Применим формулу Ньютона-Лейбница:$\int_{1}^{2} t^4 dt = \frac{t^5}{5} \vert_{1}^{2} = \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} = \frac{32}{5} - \frac{1}{5} = \frac{31}{5}$.Ответ: $\frac{31}{5}$.

2. 1)$\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5 dx}{\cos^2\left(\frac{\pi}{8} + 5x\right)};$

2)$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \left(\cos^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) - \sin^2\left(3x - \frac{\pi}{4}\right)\right) dx;$

3)$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3 dx}{\sin^2\left(\frac{\pi}{12} + 3x\right)};$

4)$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \left(\sin^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right) - \cos^2\left(\frac{\pi}{4} + 2x\right)\right) dx.$

2. 1)

Для вычисления данного определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5 dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)}$ воспользуемся методом замены переменной. Первообразная для функции $\frac{1}{\cos^2(u)}$ есть $\tan(u)$.

Сделаем замену: пусть $u = \frac{\pi}{8} + 5x$.

Тогда дифференциал $du = d(\frac{\pi}{8} + 5x) = (0 + 5)dx = 5 dx$.

Выражение под интегралом преобразуется к виду $\int \frac{du}{\cos^2(u)}$, что является табличным интегралом. Его первообразная равна $\tan(u)$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем первообразную $F(x) = \tan(\frac{\pi}{8} + 5x)$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$ \int_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} \frac{5 dx}{\cos^2(\frac{\pi}{8} + 5x)} = \tan(\frac{\pi}{8} + 5x) \Big|_{\frac{\pi}{120}}^{\frac{\pi}{40}} = \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{40}) - \tan(\frac{\pi}{8} + 5 \cdot \frac{\pi}{120}) $

Вычислим значения в точках:

Верхний предел: $\tan(\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{40}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{8}) = \tan(\frac{2\pi}{8}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Нижний предел: $\tan(\frac{\pi}{8} + \frac{5\pi}{120}) = \tan(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{3\pi}{24} + \frac{\pi}{24}) = \tan(\frac{4\pi}{24}) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Таким образом, значение интеграла равно $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. 2)

Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} (\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{4})) dx$ используем тригонометрическую формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

В нашем случае $\alpha = 3x - \frac{\pi}{4}$. Тогда подынтегральное выражение равно:

$\cos^2(3x - \frac{\pi}{4}) - \sin^2(3x - \frac{\pi}{4}) = \cos(2(3x - \frac{\pi}{4})) = \cos(6x - \frac{\pi}{2})$.

Используем формулу приведения $\cos(\alpha - \frac{\pi}{2}) = \sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 6x$.

Получаем: $\cos(6x - \frac{\pi}{2}) = \sin(6x)$.

Теперь интеграл имеет вид $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx$.

Первообразная для $\sin(6x)$ равна $-\frac{1}{6}\cos(6x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} \sin(6x) dx = -\frac{1}{6}\cos(6x) \Big|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{36}} = -\frac{1}{6}(\cos(6 \cdot \frac{\pi}{36}) - \cos(6 \cdot \frac{\pi}{18}))$.

Вычислим значения:

$-\frac{1}{6}(\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{6}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{6} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{12}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{3}}{12}$.

2. 3)

Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3 dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)}$ используем метод замены переменной. Первообразная для функции $\frac{1}{\sin^2(u)}$ есть $-\cot(u)$.

Сделаем замену: пусть $u = \frac{\pi}{12} + 3x$.

Тогда дифференциал $du = d(\frac{\pi}{12} + 3x) = 3 dx$.

Подставляя в интеграл, получаем $\int \frac{du}{\sin^2(u)} = -\cot(u)$.

Возвращаясь к переменной $x$, находим первообразную $F(x) = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$:

$\int_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} \frac{3 dx}{\sin^2(\frac{\pi}{12} + 3x)} = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3x) \Big|_{\frac{\pi}{18}}^{\frac{\pi}{12}} = -\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{12}) - (-\cot(\frac{\pi}{12} + 3 \cdot \frac{\pi}{18}))$.

Вычислим значения в точках:

Верхний предел: $-\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{4\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Нижний предел: $-\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{3\pi}{18}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{6}) = -\cot(\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi}{12}) = -\cot(\frac{3\pi}{12}) = -\cot(\frac{\pi}{4}) = -1$.

Таким образом, значение интеграла равно $-\frac{\sqrt{3}}{3} - (-1) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

2. 4)

Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} (\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x)) dx$ используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)$.

Подынтегральное выражение можно переписать так:

$\sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) = -(\cos^2(\frac{\pi}{4} + 2x) - \sin^2(\frac{\pi}{4} + 2x)) = -\cos(2(\frac{\pi}{4} + 2x))$.

Упростим аргумент косинуса: $-\cos(\frac{2\pi}{4} + 4x) = -\cos(\frac{\pi}{2} + 4x)$.

Используем формулу приведения $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) = -\sin(\alpha)$. В нашем случае $\alpha = 4x$.

Получаем: $-\cos(\frac{\pi}{2} + 4x) = -(-\sin(4x)) = \sin(4x)$.

Интеграл принимает вид $\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx$.

Первообразная для $\sin(4x)$ равна $-\frac{1}{4}\cos(4x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} \sin(4x) dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) \Big|_{\frac{\pi}{12}}^{\frac{\pi}{24}} = -\frac{1}{4}(\cos(4 \cdot \frac{\pi}{24}) - \cos(4 \cdot \frac{\pi}{12}))$.

Вычислим значения:

$-\frac{1}{4}(\cos(\frac{\pi}{6}) - \cos(\frac{\pi}{3})) = -\frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{2} = \frac{1 - \sqrt{3}}{8}$.

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{3}}{8}$.

3. 1) $\int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx;$

2) $\int_4^9 (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})dx;$

3) $\int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx;$

4) $\int_8^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{\frac{2}{3}})dx.$

1) Решим интеграл $ \int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx $.

Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для функции $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = x^3 + x^{-3} $. Используя табличное значение интеграла для степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $, получаем:

$ F(x) = \int (x^3 + x^{-3}) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{-3+1}}{-3+1} = \frac{x^4}{4} + \frac{x^{-2}}{-2} = \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2} $.

Теперь подставим пределы интегрирования в первообразную:

$ \int_1^2 (x^3 + x^{-3})dx = \left. \left(\frac{x^4}{4} - \frac{1}{2x^2}\right) \right|_1^2 = \left(\frac{2^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2^2}\right) - \left(\frac{1^4}{4} - \frac{1}{2 \cdot 1^2}\right) $

$ = \left(\frac{16}{4} - \frac{1}{8}\right) - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \left(4 - \frac{1}{8}\right) - \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{32-1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{31}{8} + \frac{2}{8} = \frac{33}{8} $.

Ответ: $ \frac{33}{8} $.

2) Решим интеграл $ \int_4^9 (\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}})dx $.

Сначала представим подынтегральную функцию в виде степеней: $ f(x) = x^{1/2} + 2x^{-1/2} $.

Найдем первообразную для $ f(x) $:

$ F(x) = \int (x^{1/2} + 2x^{-1/2}) dx = \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + 2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{3/2}}{3/2} + 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_4^9 (x^{1/2} + 2x^{-1/2})dx = \left. \left(\frac{2}{3}x^{3/2} + 4x^{1/2}\right) \right|_4^9 = \left(\frac{2}{3} \cdot 9^{3/2} + 4 \cdot 9^{1/2}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 4^{3/2} + 4 \cdot 4^{1/2}\right) $

$ = \left(\frac{2}{3} \cdot (\sqrt{9})^3 + 4 \cdot \sqrt{9}\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot (\sqrt{4})^3 + 4 \cdot \sqrt{4}\right) = \left(\frac{2}{3} \cdot 3^3 + 4 \cdot 3\right) - \left(\frac{2}{3} \cdot 2^3 + 4 \cdot 2\right) $

$ = \left(\frac{2}{3} \cdot 27 + 12\right) - \left(\frac{16}{3} + 8\right) = (18 + 12) - \left(\frac{16}{3} + \frac{24}{3}\right) = 30 - \frac{40}{3} = \frac{90 - 40}{3} = \frac{50}{3} $.

Ответ: $ \frac{50}{3} $.

3) Решим интеграл $ \int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 5 - 3x^{-2} - 3x^2 $:

$ F(x) = \int (5 - 3x^{-2} - 3x^2) dx = 5x - 3 \cdot \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 5x - 3 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} = 5x + 3x^{-1} - x^3 = 5x + \frac{3}{x} - x^3 $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-2}^{-1} (5 - 3x^{-2} - 3x^2)dx = \left. \left(5x + \frac{3}{x} - x^3\right) \right|_{-2}^{-1} $

$ = \left(5(-1) + \frac{3}{-1} - (-1)^3\right) - \left(5(-2) + \frac{3}{-2} - (-2)^3\right) $

$ = (-5 - 3 - (-1)) - \left(-10 - \frac{3}{2} - (-8)\right) = (-8 + 1) - \left(-10 - \frac{3}{2} + 8\right) = -7 - \left(-2 - \frac{3}{2}\right) $

$ = -7 - \left(-\frac{4}{2} - \frac{3}{2}\right) = -7 - \left(-\frac{7}{2}\right) = -7 + \frac{7}{2} = -\frac{14}{2} + \frac{7}{2} = -\frac{7}{2} $.

Ответ: $ -\frac{7}{2} $.

4) Решим интеграл $ \int_8^{27} (x^{\frac{2}{3}} + 3x^{-\frac{2}{3}})dx $. (Примечание: исходя из структуры других заданий, предполагается, что второй член имеет степень $ -\frac{2}{3} $, так как знак в условии нечеткий).

Найдем первообразную для функции $ f(x) = x^{2/3} + 3x^{-2/3} $:

$ F(x) = \int (x^{2/3} + 3x^{-2/3}) dx = \frac{x^{\frac{2}{3}+1}}{\frac{2}{3}+1} + 3 \cdot \frac{x^{-\frac{2}{3}+1}}{-\frac{2}{3}+1} = \frac{x^{5/3}}{5/3} + 3 \cdot \frac{x^{1/3}}{1/3} = \frac{3}{5}x^{5/3} + 9x^{1/3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_8^{27} (x^{2/3} + 3x^{-2/3})dx = \left. \left(\frac{3}{5}x^{5/3} + 9x^{1/3}\right) \right|_8^{27} $

$ = \left(\frac{3}{5} \cdot 27^{5/3} + 9 \cdot 27^{1/3}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 8^{5/3} + 9 \cdot 8^{1/3}\right) $

$ = \left(\frac{3}{5} \cdot (\sqrt[3]{27})^5 + 9 \cdot \sqrt[3]{27}\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot (\sqrt[3]{8})^5 + 9 \cdot \sqrt[3]{8}\right) $

$ = \left(\frac{3}{5} \cdot 3^5 + 9 \cdot 3\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 2^5 + 9 \cdot 2\right) = \left(\frac{3}{5} \cdot 243 + 27\right) - \left(\frac{3}{5} \cdot 32 + 18\right) $

$ = \left(\frac{729}{5} + \frac{135}{5}\right) - \left(\frac{96}{5} + \frac{90}{5}\right) = \frac{864}{5} - \frac{186}{5} = \frac{678}{5} $.

Ответ: $ \frac{678}{5} $.

4. 1) $\int_1^e (2x^{-1} + 1)dx;$

2) $\int_0^2 3^{0.5x} dx;$

3) $\int_1^e (3x^{-1} - 4)dx;$

4) $\int_0^1 (e^{x/3} - 3x^2) dx.$

1) Чтобы вычислить определенный интеграл $ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1) dx $, найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x^{-1} + 1 $. Так как $ x^{-1} = \frac{1}{x} $, то функция имеет вид $ f(x) = \frac{2}{x} + 1 $.

Первообразной для $ \frac{2}{x} $ является $ 2\ln|x| $, а для $ 1 $ — $ x $. Таким образом, общая первообразная $ F(x) = 2\ln|x| + x $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{1}^{e} (2x^{-1} + 1) dx = (2\ln|x| + x)\Big|_{1}^{e} = (2\ln|e| + e) - (2\ln|1| + 1) = (2 \cdot 1 + e) - (2 \cdot 0 + 1) = 2 + e - 1 = 1 + e $.

Ответ: $ 1 + e $

2) Для вычисления интеграла $ \int_{0}^{2} 3^{0.5x} dx $ найдем первообразную функции $ f(x) = 3^{0.5x} $. Воспользуемся табличной формулой для интеграла показательной функции $ \int a^{kx}dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a} + C $.

В нашем случае $ a = 3 $ и $ k = 0.5 $. Первообразная $ F(x) = \frac{3^{0.5x}}{0.5\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3} $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{2} 3^{0.5x} dx = \left(\frac{2 \cdot 3^{0.5x}}{\ln 3}\right)\Big|_{0}^{2} = \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 2}}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 3^{0.5 \cdot 0}}{\ln 3} = \frac{2 \cdot 3^1}{\ln 3} - \frac{2 \cdot 3^0}{\ln 3} = \frac{6}{\ln 3} - \frac{2}{\ln 3} = \frac{4}{\ln 3} $.

Ответ: $ \frac{4}{\ln 3} $

3) Вычислим интеграл $ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4) dx $. Подынтегральная функция $ f(x) = 3x^{-1} - 4 = \frac{3}{x} - 4 $.

Первообразная для $ \frac{3}{x} $ равна $ 3\ln|x| $, для $ -4 $ равна $ -4x $. Общая первообразная $ F(x) = 3\ln|x| - 4x $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{1}^{e} (3x^{-1} - 4) dx = (3\ln|x| - 4x)\Big|_{1}^{e} = (3\ln|e| - 4e) - (3\ln|1| - 4 \cdot 1) = (3 \cdot 1 - 4e) - (3 \cdot 0 - 4) = (3 - 4e) - (-4) = 3 - 4e + 4 = 7 - 4e $.

Ответ: $ 7 - 4e $

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2) dx $. Найдем первообразную для каждого слагаемого.

Первообразная для $ e^{\frac{x}{3}} $ находится по формуле $ \int e^{kx}dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C $. Здесь $ k=\frac{1}{3} $, так что первообразная равна $ \frac{1}{1/3}e^{\frac{x}{3}} = 3e^{\frac{x}{3}} $.

Первообразная для $ -3x^2 $ находится по степенной формуле: $ -3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -3 \frac{x^3}{3} = -x^3 $.

Общая первообразная $ F(x) = 3e^{\frac{x}{3}} - x^3 $.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{1} (e^{\frac{x}{3}} - 3x^2) dx = (3e^{\frac{x}{3}} - x^3)\Big|_{0}^{1} = (3e^{\frac{1}{3}} - 1^3) - (3e^{\frac{0}{3}} - 0^3) = (3\sqrt[3]{e} - 1) - (3 \cdot 1 - 0) = 3\sqrt[3]{e} - 1 - 3 = 3\sqrt[3]{e} - 4 $.

Ответ: $ 3\sqrt[3]{e} - 4 $

5. 1) $\int_{0}^{2}(e^{3x} + 1)dx;$

2) $\int_{1}^{e}\frac{x^2 + 1}{2x^3} dx;$

3) $\int_{-1}^{0}\frac{3}{(5x - 1)^3} dx;$

4) $\int_{0}^{4}\frac{4}{(2x + 1)^3} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx $ воспользуемся свойством линейности интеграла и формулой Ньютона-Лейбница.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = e^{3x} + 1$.

$ \int (e^{3x} + 1) dx = \int e^{3x} dx + \int 1 dx = \frac{1}{3}e^{3x} + x + C $

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $F(x)$ - первообразная для $f(x)$.

$ \int_{0}^{2} (e^{3x} + 1) dx = \left. \left( \frac{1}{3}e^{3x} + x \right) \right|_{0}^{2} = \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3}e^{3 \cdot 0} + 0 \right) $

$ = \left( \frac{e^6}{3} + 2 \right) - \left( \frac{e^0}{3} \right) = \frac{e^6}{3} + 2 - \frac{1}{3} = \frac{e^6}{3} + \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{e^6 + 5}{3} $

Ответ: $ \frac{e^6 + 5}{3} $

2) Для вычисления интеграла $ \int_{1}^{2} \frac{x^2 + 1}{2x^3} dx $ сначала преобразуем подынтегральную функцию.

$ \frac{x^2 + 1}{2x^3} = \frac{x^2}{2x^3} + \frac{1}{2x^3} = \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3} $

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{2x} + \frac{1}{2}x^{-3} \right) dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx + \frac{1}{2} \int_{1}^{2} x^{-3} dx $

Найдем первообразные и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left. \left( \frac{1}{2}\ln|x| + \frac{1}{2}\frac{x^{-2}}{-2} \right) \right|_{1}^{2} = \left. \left( \frac{1}{2}\ln x - \frac{1}{4x^2} \right) \right|_{1}^{2} $

Подставляем пределы интегрирования:

$ = \left( \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{4 \cdot 2^2} \right) - \left( \frac{1}{2}\ln 1 - \frac{1}{4 \cdot 1^2} \right) = \left( \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{16} \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) $

$ = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{16} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\ln 2 - \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{3}{16} $

Ответ: $ \frac{1}{2}\ln 2 + \frac{3}{16} $

3) Вычислим интеграл $ \int_{-1}^{0} \frac{3}{(5x - 1)^3} dx $.

Используем метод замены переменной. Пусть $ t = 5x - 1 $. Тогда $ dt = 5dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{5} $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = -1 $, то $ t = 5(-1) - 1 = -6 $.

Если $ x = 0 $, то $ t = 5(0) - 1 = -1 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{-6}^{-1} \frac{3}{t^3} \frac{dt}{5} = \frac{3}{5} \int_{-6}^{-1} t^{-3} dt $

Находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{3}{5} \left. \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) \right|_{-6}^{-1} = -\frac{3}{10} \left. \left( \frac{1}{t^2} \right) \right|_{-6}^{-1} = -\frac{3}{10} \left( \frac{1}{(-1)^2} - \frac{1}{(-6)^2} \right) $

$ = -\frac{3}{10} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{36} \right) = -\frac{3}{10} \left( \frac{36-1}{36} \right) = -\frac{3}{10} \cdot \frac{35}{36} = -\frac{3 \cdot 35}{10 \cdot 36} = -\frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 12} = -\frac{7}{24} $

Ответ: $ -\frac{7}{24} $

4) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{4} \frac{4}{(2x + 1)^3} dx $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ t = 2x + 1 $. Тогда $ dt = 2dx $, откуда $ dx = \frac{dt}{2} $.

Найдем новые пределы интегрирования:

Если $ x = 0 $, то $ t = 2(0) + 1 = 1 $.

Если $ x = 4 $, то $ t = 2(4) + 1 = 9 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{1}^{9} \frac{4}{t^3} \frac{dt}{2} = 2 \int_{1}^{9} t^{-3} dt $

Находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ 2 \left. \left( \frac{t^{-2}}{-2} \right) \right|_{1}^{9} = - \left. \left( \frac{1}{t^2} \right) \right|_{1}^{9} = - \left( \frac{1}{9^2} - \frac{1}{1^2} \right) $

$ = - \left( \frac{1}{81} - 1 \right) = - \left( -\frac{80}{81} \right) = \frac{80}{81} $

Ответ: $ \frac{80}{81} $

Найдите значения выражений (6 - 10):

6. 1) $\sqrt{\frac{9}{16}} + \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{81};$

2) $\sqrt{0,49} - \sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} + \sqrt[4]{32};$

3) $\sqrt{\frac{16}{25}} + \sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} + \sqrt[6]{64};$

4) $\sqrt{1,21} + \sqrt[3]{-4\frac{12}{125}} + \sqrt[4]{625}.$

1) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{9}{16}} + \sqrt[3]{-2\frac{10}{27}} + \sqrt[4]{81}$, вычислим каждый член по отдельности.

Вычисляем квадратный корень: $\sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.

Вычисляем кубический корень. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-2\frac{10}{27} = -\frac{2 \cdot 27 + 10}{27} = -\frac{54+10}{27} = -\frac{64}{27}$. Тогда $\sqrt[3]{-\frac{64}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-64}}{\sqrt[3]{27}} = \frac{-4}{3}$.

Вычисляем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$.

Складываем полученные значения: $\frac{3}{4} + (-\frac{4}{3}) + 3 = \frac{3}{4} - \frac{4}{3} + 3$.

Приводим дроби к общему знаменателю 12: $\frac{3 \cdot 3}{12} - \frac{4 \cdot 4}{12} + \frac{3 \cdot 12}{12} = \frac{9 - 16 + 36}{12} = \frac{29}{12} = 2\frac{5}{12}$.

Ответ: $2\frac{5}{12}$.

2) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{0,49} - \sqrt[3]{-15\frac{5}{8}} + \sqrt[5]{32}$, вычислим каждый член по отдельности.

Вычисляем квадратный корень: $\sqrt{0,49} = 0,7$, так как $0,7^2 = 0,49$.

Вычисляем кубический корень. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-15\frac{5}{8} = -\frac{15 \cdot 8 + 5}{8} = -\frac{120+5}{8} = -\frac{125}{8}$. Тогда $\sqrt[3]{-\frac{125}{8}} = \frac{\sqrt[3]{-125}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{-5}{2} = -2,5$.

Вычисляем корень пятой степени: $\sqrt[5]{32} = 2$, так как $2^5 = 32$.

Складываем полученные значения: $0,7 - (-2,5) + 2 = 0,7 + 2,5 + 2 = 3,2 + 2 = 5,2$.

Ответ: $5,2$.

3) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{\frac{16}{25}} + \sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} + \sqrt[6]{64}$, вычислим каждый член по отдельности.

Вычисляем квадратный корень: $\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.

Вычисляем кубический корень. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{61}{64} = -\frac{1 \cdot 64 + 61}{64} = -\frac{64+61}{64} = -\frac{125}{64}$. Тогда $\sqrt[3]{-\frac{125}{64}} = \frac{\sqrt[3]{-125}}{\sqrt[3]{64}} = \frac{-5}{4}$.

Вычисляем корень шестой степени: $\sqrt[6]{64} = 2$, так как $2^6 = 64$.

Складываем полученные значения: $\frac{4}{5} + (-\frac{5}{4}) + 2 = \frac{4}{5} - \frac{5}{4} + 2$.

Приводим дроби к общему знаменателю 20: $\frac{4 \cdot 4}{20} - \frac{5 \cdot 5}{20} + \frac{2 \cdot 20}{20} = \frac{16 - 25 + 40}{20} = \frac{31}{20} = 1,55$.

Ответ: $1,55$.

4) Чтобы найти значение выражения $\sqrt{1,21} + \sqrt[3]{-4\frac{12}{125}} + \sqrt[4]{625}$, вычислим каждый член по отдельности.

Вычисляем квадратный корень: $\sqrt{1,21} = 1,1$, так как $1,1^2 = 1,21$.

Вычисляем кубический корень. Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-4\frac{12}{125} = -\frac{4 \cdot 125 + 12}{125} = -\frac{500+12}{125} = -\frac{512}{125}$. Тогда $\sqrt[3]{-\frac{512}{125}} = \frac{\sqrt[3]{-512}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{-8}{5} = -1,6$.

Вычисляем корень четвертой степени: $\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.

Складываем полученные значения: $1,1 + (-1,6) + 5 = 1,1 - 1,6 + 5 = -0,5 + 5 = 4,5$.

Ответ: $4,5$.

7. 1) $\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^5} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3}$;

2) $\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3}$;

3) $\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7}$;

4) $\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5}$.

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$. Поскольку у обоих корней показатель степени равен 6, мы можем объединить подкоренные выражения под одним знаком корня.

$\sqrt[6]{2^7 \cdot 3^5} \cdot \sqrt[6]{2^5 \cdot 3} = \sqrt[6]{(2^7 \cdot 3^5) \cdot (2^5 \cdot 3)}$

Далее, сгруппируем множители с одинаковыми основаниями и воспользуемся свойством степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\sqrt[6]{(2^7 \cdot 2^5) \cdot (3^5 \cdot 3^1)} = \sqrt[6]{2^{7+5} \cdot 3^{5+1}} = \sqrt[6]{2^{12} \cdot 3^6}$

Теперь применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ и свойство корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$:

$\sqrt[6]{2^{12}} \cdot \sqrt[6]{3^6} = 2^{12/6} \cdot 3^{6/6} = 2^2 \cdot 3^1$

Осталось вычислить результат:

$4 \cdot 3 = 12$

Ответ: $12$

2) В данном примере показатели корней также совпадают и равны 5. Объединим подкоренные выражения:

$\sqrt[5]{5^3 \cdot 6^2} \cdot \sqrt[5]{5^{12} \cdot 6^3} = \sqrt[5]{(5^3 \cdot 6^2) \cdot (5^{12} \cdot 6^3)}$

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и сложим их показатели:

$\sqrt[5]{(5^3 \cdot 5^{12}) \cdot (6^2 \cdot 6^3)} = \sqrt[5]{5^{3+12} \cdot 6^{2+3}} = \sqrt[5]{5^{15} \cdot 6^5}$

Извлечем корень из каждого множителя по отдельности:

$\sqrt[5]{5^{15}} \cdot \sqrt[5]{6^5} = 5^{15/5} \cdot 6^{5/5} = 5^3 \cdot 6^1$

Вычислим конечное значение:

$125 \cdot 6 = 750$

Ответ: $750$

3) Оба корня имеют показатель 8, поэтому мы можем перемножить их подкоренные выражения:

$\sqrt[8]{4^5 \cdot 7^7} \cdot \sqrt[8]{4^7 \cdot 7} = \sqrt[8]{(4^5 \cdot 7^7) \cdot (4^7 \cdot 7^1)}$

Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$\sqrt[8]{(4^5 \cdot 4^7) \cdot (7^7 \cdot 7^1)} = \sqrt[8]{4^{5+7} \cdot 7^{7+1}} = \sqrt[8]{4^{12} \cdot 7^8}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt[8]{4^{12}} \cdot \sqrt[8]{7^8} = 4^{12/8} \cdot 7^{8/8} = 4^{3/2} \cdot 7^1$

Упростим выражение $4^{3/2}$. Для этого представим число 4 как $2^2$:

$4^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^{2 \cdot (3/2)} = 2^3 = 8$

Теперь вычислим произведение:

$8 \cdot 7 = 56$

Ответ: $56$

4) Показатели корней равны 4. Применим свойство произведения корней:

$\sqrt[4]{2^5 \cdot 5^3} \cdot \sqrt[4]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[4]{(2^5 \cdot 5^3) \cdot (2^3 \cdot 5^1)}$

Сгруппируем множители и сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями:

$\sqrt[4]{(2^5 \cdot 2^3) \cdot (5^3 \cdot 5^1)} = \sqrt[4]{2^{5+3} \cdot 5^{3+1}} = \sqrt[4]{2^8 \cdot 5^4}$

Извлечем корень из каждого множителя:

$\sqrt[4]{2^8} \cdot \sqrt[4]{5^4} = 2^{8/4} \cdot 5^{4/4} = 2^2 \cdot 5^1$

Вычислим итоговое значение:

$4 \cdot 5 = 20$

Ответ: $20$

8. 1) $\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}};$

2) $\sqrt[4]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[4]{7 - \sqrt{17}};$

3) $\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}};$

4) $\sqrt[4]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[4]{7 + 4\sqrt{3}}.$

1) Для решения этого примера воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и формулой сокращенного умножения для разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Объединим множители под одним знаком корня:

$\sqrt[4]{10 - \sqrt{19}} \cdot \sqrt[4]{10 + \sqrt{19}} = \sqrt[4]{(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19})}$.

Применим формулу разности квадратов к подкоренному выражению:

$(10 - \sqrt{19})(10 + \sqrt{19}) = 10^2 - (\sqrt{19})^2 = 100 - 19 = 81$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3.

2) Решение аналогично предыдущему пункту. Используем свойство произведения корней и формулу разности квадратов.

$\sqrt[5]{7 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[5]{7 - \sqrt{17}} = \sqrt[5]{(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17})}$.

Упростим подкоренное выражение:

$(7 + \sqrt{17})(7 - \sqrt{17}) = 7^2 - (\sqrt{17})^2 = 49 - 17 = 32$.

Вычислим значение корня:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$.

Ответ: 2.

3) Применим те же правила, что и в предыдущих примерах.

$\sqrt[6]{9 + \sqrt{17}} \cdot \sqrt[6]{9 - \sqrt{17}} = \sqrt[6]{(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17})}$.

Упростим выражение под корнем, используя формулу разности квадратов:

$(9 + \sqrt{17})(9 - \sqrt{17}) = 9^2 - (\sqrt{17})^2 = 81 - 17 = 64$.

Теперь вычислим корень:

$\sqrt[6]{64} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.

Ответ: 2.

4) Решаем по аналогии с предыдущими заданиями.

$\sqrt[3]{7 - 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt[3]{7 + 4\sqrt{3}} = \sqrt[3]{(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3})}$.

Применим формулу разности квадратов к подкоренному выражению:

$(7 - 4\sqrt{3})(7 + 4\sqrt{3}) = 7^2 - (4\sqrt{3})^2$.

Вычислим квадрат второго слагаемого: $(4\sqrt{3})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$.

Подставим результат в выражение: $7^2 - 48 = 49 - 48 = 1$.

Теперь извлечем корень:

$\sqrt[3]{1} = 1$.

Ответ: 1.