Страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

6. По вариационному ряду относительных частот найдите среднее значение и дисперсию:

A) $\overline{X} = 14,68; \overline{D} = 405,99;$

B) $\overline{X} = 15,68; \overline{D} = 406,99;$

C) $\overline{X} = 15; \overline{D} = 405,99;$

D) $\overline{X} = 14,4; \overline{D} = 406,99;$

E) $\overline{X} = 14,4; \overline{D} = 406,99.$

Интервалы [10; 20) [20; 30) [30; 40)

$x_i^*$ 15 25 35

$n_i$ 5 9 8

$\frac{n_i}{n}$ 0,2 0,36 0,32

1. Нахождение среднего значения

Для нахождения среднего значения выборочной совокупности, представленной в виде интервального вариационного ряда, используется формула для взвешенного среднего арифметического:

$\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i^* n_i}{n}$

где $x_i^*$ — середина i-го интервала (варианта), $n_i$ — частота i-го интервала, а $n$ — общий объем выборки, равный сумме всех частот ($n = \sum_{i=1}^{k} n_i$).

Из таблицы берем значения середин интервалов $x_i^*$ и соответствующие им частоты $n_i$:

$x_1^* = 15$ с частотой $n_1 = 5$

$x_2^* = 25$ с частотой $n_2 = 9$

$x_3^* = 35$ с частотой $n_3 = 8$

Сначала найдем общий объем выборки $n$:

$n = n_1 + n_2 + n_3 = 5 + 9 + 8 = 22$

Теперь вычислим среднее значение $\bar{X}$:

$\bar{X} = \frac{15 \cdot 5 + 25 \cdot 9 + 35 \cdot 8}{22} = \frac{75 + 225 + 280}{22} = \frac{580}{22} \approx 26,36$

2. Нахождение дисперсии

Для нахождения несмещенной выборочной дисперсии $\bar{D}$ используется формула:

$\bar{D} = \frac{\sum_{i=1}^{k} (x_i^* - \bar{X})^2 n_i}{n-1}$

Для удобства вычислений можно использовать другую формулу:

$\bar{D} = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 n_i - n(\bar{X})^2 \right)$

Найдем сумму квадратов вариант, взвешенных по частотам:

$\sum_{i=1}^{k} (x_i^*)^2 n_i = 15^2 \cdot 5 + 25^2 \cdot 9 + 35^2 \cdot 8 = 225 \cdot 5 + 625 \cdot 9 + 1225 \cdot 8 = 1125 + 5625 + 9800 = 16550$

Теперь подставим все значения в формулу для дисперсии:

$\bar{D} = \frac{1}{22-1} \left( 16550 - 22 \cdot (26,3636...)^2 \right) = \frac{1}{21} \left( 16550 - 22 \cdot (\frac{580}{22})^2 \right) = \frac{1}{21} \left( 16550 - \frac{580^2}{22} \right)$

$\bar{D} = \frac{1}{21} \left( 16550 - \frac{336400}{22} \right) \approx \frac{1}{21} (16550 - 15290,91) = \frac{1259,09}{21} \approx 59,96$

Полученные в результате расчетов значения $\bar{X} \approx 26,36$ и $\bar{D} \approx 59,96$ не соответствуют ни одному из предложенных вариантов ответа. В условии задачи, по всей видимости, содержится ошибка, так как данные в строках для абсолютных частот ($n_i$) и относительных частот ($n_i/n$) противоречат друг другу (сумма относительных частот $0,2 + 0,36 + 0,32 = 0,88$, что не равно 1). Из-за этих несоответствий невозможно получить ни один из предложенных ответов стандартными методами.

Ответ: На основании данных из таблицы, правильные значения среднего и дисперсии составляют $\bar{X} \approx 26,36$ и $\bar{D} \approx 59,96$. Ни один из предложенных вариантов A, B, C, D, E не является верным.

7. По вариационному ряду относительных частот задания 6 найдите среднее квадратическое отклонение:

A) $\bar{\sigma} \approx 20,15;$

B) $\bar{\sigma} \approx 21,15;$

C) $\bar{\sigma} \approx 21,16;$

D) $\bar{\sigma} \approx 20,25;$

E) $\bar{\sigma} \approx 20,15.$

Для нахождения среднего квадратического отклонения по вариационному ряду относительных частот необходимо иметь сам этот ряд, который должен быть представлен в задании 6. Поскольку данные из задания 6 отсутствуют, ниже приводится подробный алгоритм решения подобных задач, который вы сможете применить к вашим данным.

Шаг 1: Вычисление выборочной средней

Выборочная средняя (или среднее взвешенное) для вариационного ряда, представленного вариантами $x_i$ и соответствующими им относительными частотами $w_i$, вычисляется по формуле:

$\bar{x}_B = \sum_{i=1}^{k} x_i w_i$

Здесь $x_i$ — это значение $i$-ой варианты, а $w_i$ — её относительная частота. Сумма всех относительных частот должна быть равна 1 ($\sum w_i = 1$). Если в задаче дан интервальный ряд, то в качестве $x_i$ берутся середины каждого интервала.

Шаг 2: Вычисление выборочной дисперсии

Выборочная дисперсия ($D_B$) — это мера разброса данных, равная среднему квадрату отклонений вариант от их выборочной средней. Для удобства расчётов используется следующая формула:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x}_B)^2$

В этой формуле $\overline{x^2}$ представляет собой среднее значение квадратов вариант, которое вычисляется так:

$\overline{x^2} = \sum_{i=1}^{k} x_i^2 w_i$

Шаг 3: Нахождение среднего квадратического отклонения

Среднее квадратическое отклонение ($\bar{\sigma}$) является квадратным корнем из выборочной дисперсии:

$\bar{\sigma} = \sqrt{D_B}$

Пример решения с гипотетическими данными

Предположим, что вариационный ряд из задания 6 был следующим:

Варианта $x_1 = 80$ с относительной частотой $w_1 = 0.2$

Варианта $x_2 = 100$ с относительной частотой $w_2 = 0.5$

Варианта $x_3 = 120$ с относительной частотой $w_3 = 0.3$

1. Находим выборочную среднюю:

$\bar{x}_B = (80 \cdot 0.2) + (100 \cdot 0.5) + (120 \cdot 0.3) = 16 + 50 + 36 = 102$

2. Находим среднее квадратов вариант:

$\overline{x^2} = (80^2 \cdot 0.2) + (100^2 \cdot 0.5) + (120^2 \cdot 0.3) = (6400 \cdot 0.2) + (10000 \cdot 0.5) + (14400 \cdot 0.3) = 1280 + 5000 + 4320 = 10600$

3. Вычисляем дисперсию:

$D_B = \overline{x^2} - (\bar{x}_B)^2 = 10600 - 102^2 = 10600 - 10404 = 196$

4. Вычисляем среднее квадратическое отклонение:

$\bar{\sigma} = \sqrt{D_B} = \sqrt{196} = 14$

Для получения ответа на ваш вопрос необходимо подставить реальные данные из задания 6 в приведенные выше формулы. После выполнения расчётов вы сможете выбрать соответствующий вариант ответа.

Ответ: Для предоставления окончательного ответа и выбора одного из вариантов (A, B, C, D, E) необходимы данные вариационного ряда из задания 6.