Страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

29. 1) $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$;

2) $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$;

3) $\sqrt{\frac{x}{x + 1}} + 2\sqrt{\frac{x + 1}{x}} = 3$;

4) $\sqrt{\frac{x - 1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x - 1}} = 2$.

1) Решим уравнение $\sqrt{1 - \sin x} = \cos x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $1 - \sin x \ge 0$. Это неравенство выполняется для любого $x$, так как $\sin x \le 1$.

2. Значение арифметического квадратного корня неотрицательно, поэтому правая часть уравнения также должна быть неотрицательной: $\cos x \ge 0$. Это соответствует $x \in [-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат, учитывая ОДЗ:

$(\sqrt{1 - \sin x})^2 = (\cos x)^2$

$1 - \sin x = \cos^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$1 - \sin x = 1 - \sin^2 x$

$\sin^2 x - \sin x = 0$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$\sin x (\sin x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая:

а) $\sin x = 0$. Решения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\sin x - 1 = 0$, то есть $\sin x = 1$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($\cos x \ge 0$):

Для случая а) $x = \pi n$:

Если $n$ - четное число, то есть $n=2k$, то $x = 2\pi k$. Тогда $\cos(2\pi k) = 1 \ge 0$. Эти корни подходят.

Если $n$ - нечетное число, то есть $n=2k+1$, то $x = \pi(2k+1)$. Тогда $\cos(\pi(2k+1)) = -1 < 0$. Эти корни не подходят.

Для случая б) $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$:

$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi m) = 0 \ge 0$. Эти корни подходят.

Объединяем подходящие решения.

Ответ: $x = 2\pi k, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $k, m \in \mathbb{Z}$.

2) Решим уравнение $\sqrt{1 - \cos x} = \sin x$.

ОДЗ: $1 - \cos x \ge 0$ (верно для всех $x$) и $\sin x \ge 0$. Условие $\sin x \ge 0$ означает, что $x \in [2\pi k, \pi + 2\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Возведем обе части в квадрат:

$1 - \cos x = \sin^2 x$

Используем тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$1 - \cos x = 1 - \cos^2 x$

$\cos^2 x - \cos x = 0$

$\cos x (\cos x - 1) = 0$

Получаем два случая:

а) $\cos x = 0$. Решения: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos x - 1 = 0$, то есть $\cos x = 1$. Решения: $x = 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($\sin x \ge 0$):

Для случая а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$:

Если $n$ - четное, $n=2k$, то $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1 \ge 0$. Корни подходят.

Если $n$ - нечетное, $n=2k+1$, то $x = \frac{\pi}{2} + \pi(2k+1) = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$. Тогда $\sin(\frac{3\pi}{2} + 2\pi k) = -1 < 0$. Корни не подходят.

Для случая б) $x = 2\pi m$:

$\sin(2\pi m) = 0 \ge 0$. Корни подходят.

Объединяем подходящие решения.

Ответ: $x = 2\pi m, x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $m, k \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $\sqrt{\frac{x}{x+1}} + 2\sqrt{\frac{x+1}{x}} = 3$.

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $\frac{x}{x+1} \ge 0$ и $\frac{x+1}{x} \ge 0$. Оба неравенства выполняются одновременно, когда $x$ и $x+1$ имеют одинаковые знаки. Также знаменатели не должны быть равны нулю, т.е. $x \ne 0$ и $x \ne -1$.

Методом интервалов для $\frac{x}{x+1} > 0$ получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Введем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x}{x+1}}$. Так как $x$ принадлежит ОДЗ, то $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x+1}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{x+1}}} = \frac{1}{y}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$y + 2 \cdot \frac{1}{y} = 3$

Умножим обе части на $y$ (так как $y \ne 0$):

$y^2 + 2 = 3y$

$y^2 - 3y + 2 = 0$

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета: $y_1 = 1, y_2 = 2$. Оба корня положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену:

а) $y = 1 \implies \sqrt{\frac{x}{x+1}} = 1$. Возводим в квадрат: $\frac{x}{x+1} = 1 \implies x = x+1 \implies 0=1$. Решений нет.

б) $y = 2 \implies \sqrt{\frac{x}{x+1}} = 2$. Возводим в квадрат: $\frac{x}{x+1} = 4 \implies x = 4(x+1) \implies x = 4x + 4 \implies -3x = 4 \implies x = -\frac{4}{3}$.

Проверим, принадлежит ли найденный корень $x = -\frac{4}{3}$ ОДЗ $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Так как $-\frac{4}{3} < -1$, то корень принадлежит интервалу $(-\infty, -1)$ и является решением.

Ответ: $x = -\frac{4}{3}$.

4) Решим уравнение $\sqrt{\frac{x-1}{x}} - 3\sqrt{\frac{x}{x-1}} = 2$.

ОДЗ: $\frac{x-1}{x} \ge 0$ и $\frac{x}{x-1} \ge 0$. Знаменатели не равны нулю: $x \ne 0, x \ne 1$.

Методом интервалов для $\frac{x-1}{x} > 0$ получаем $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Сделаем замену. Пусть $y = \sqrt{\frac{x-1}{x}}$. Из ОДЗ следует, что $y > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{x}{x-1}} = \frac{1}{y}$.

Уравнение принимает вид:

$y - \frac{3}{y} = 2$

Умножим на $y$ ($y \ne 0$):

$y^2 - 3 = 2y$

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение, например, разложением на множители:

$(y-3)(y+1) = 0$

Получаем два корня: $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Так как по условию замены $y > 0$, корень $y = -1$ является посторонним. Используем только $y = 3$.

Выполняем обратную замену:

$\sqrt{\frac{x-1}{x}} = 3$

Возводим в квадрат обе части:

$\frac{x-1}{x} = 9$

$x-1 = 9x$

$8x = -1$

$x = -\frac{1}{8}$

Проверим, принадлежит ли корень $x = -\frac{1}{8}$ ОДЗ $(-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Да, $-\frac{1}{8} < 0$, поэтому корень принадлежит интервалу $(-\infty, 0)$ и является решением.

Ответ: $x = -\frac{1}{8}$.

Решите показательные уравнения (30—35):

30. 1) $\sqrt{3^x} = 27^{\frac{2}{3}}$;

2) $\sqrt{5^x} = 25^{\frac{3}{2}}$;

3) $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{\frac{3}{4}}$;

4) $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-0.5}$.

1) $\sqrt{3^x} = 27^{\frac{2}{3}}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию, в данном случае к 3.

Представим левую часть в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3^x} = (3^x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{x}{2}}$.

Теперь преобразуем правую часть. Так как $27 = 3^3$, то $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2$.

Уравнение принимает вид: $3^{\frac{x}{2}} = 3^2$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $\frac{x}{2} = 2$.

Отсюда находим $x$, умножив обе части на 2: $x = 4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{5^x} = 25^{\frac{3}{2}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Левая часть: $\sqrt{5^x} = (5^x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{x}{2}}$.

Правая часть, учитывая что $25 = 5^2$: $25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3$.

Получаем уравнение: $5^{\frac{x}{2}} = 5^3$.

Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = 3$.

Решая уравнение, находим $x = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.

3) $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{\frac{3}{4}}$

Приведем все множители и части уравнения к основанию 2.

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

$\sqrt{2^{3x-1}} = (2^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3x-1}{2}}$.

$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $2^{-2} \cdot 2^{\frac{3x-1}{2}} = 2^3$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для левой части: $2^{-2 + \frac{3x-1}{2}} = 2^3$.

Теперь приравниваем показатели: $-2 + \frac{3x-1}{2} = 3$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $2 \cdot (-2) + (3x-1) = 2 \cdot 3$, что дает $-4 + 3x - 1 = 6$.

$3x - 5 = 6$.

$3x = 11$.

$x = \frac{11}{3}$.

Ответ: $\frac{11}{3}$.

4) $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = (\frac{1}{9})^{-0.5}$

Приведем все части уравнения к основанию 3.

$27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$.

$\sqrt{9^{x+1}} = \sqrt{(3^2)^{x+1}} = \sqrt{3^{2(x+1)}} = (3^{2x+2})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x+2}{2}} = 3^{x+1}$.

$(\frac{1}{9})^{-0.5} = (3^{-2})^{-0.5} = 3^{(-2) \cdot (-0.5)} = 3^1 = 3$.

Уравнение принимает вид: $3^{-3} \cdot 3^{x+1} = 3^1$.

Упростим левую часть, сложив показатели: $3^{-3 + x + 1} = 3^1$, то есть $3^{x-2} = 3^1$.

Приравниваем показатели: $x-2 = 1$.

Отсюда $x = 1 + 2 = 3$.

Ответ: $3$.

31. 1) $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$;

2) $4 \cdot 2^{\min x} = \sqrt{8}$;

3) $25^{-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$;

4) $216^{-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0.5x}$.

1) Чтобы решить уравнение $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к 3.

Число 9 можно представить как $3^2$.

Число 27 это $3^3$, следовательно, корень из 27 равен $\sqrt{27} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$3^2 \cdot 3^{\cos x} = 3^{3/2}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{2 + \cos x} = 3^{3/2}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + \cos x = \frac{3}{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $\cos x$:

$\cos x = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для тригонометрического уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения уравнения $4 \cdot 2^{\sin x} = \sqrt{8}$ приведем все части к основанию 2.

Число 4 это $2^2$.

Число 8 это $2^3$, следовательно, $\sqrt{8} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}$.

Подставляем полученные выражения в уравнение:

$2^2 \cdot 2^{\sin x} = 2^{3/2}$.

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2 + \sin x} = 2^{3/2}$.

Приравниваем показатели степеней:

$2 + \sin x = \frac{3}{2}$.

Выразим $\sin x$:

$\sin x = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ записывается как $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, решение будет:

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $25^{x-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$. Для этого приведем все степени к основанию 5.

Преобразуем левую часть уравнения:

$25^{x-1} = (5^2)^{x-1} = 5^{2(x-1)} = 5^{2x-2}$.

$\sqrt{125^x} = (125^x)^{1/2} = ((5^3)^x)^{1/2} = (5^{3x})^{1/2} = 5^{3x/2}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$5^{2x-2} \cdot 5^{3x/2} = 5^x$.

Складываем показатели степеней в левой части:

$5^{2x-2 + \frac{3x}{2}} = 5^x$.

Приравниваем показатели:

$2x - 2 + \frac{3x}{2} = x$.

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые - в правую:

$2x + \frac{3x}{2} - x = 2$.

$x + \frac{3x}{2} = 2$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 2 \implies \frac{5x}{2} = 2$.

$5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

4) Решим уравнение $216^{x-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0.5x}$. Приведем все части уравнения к основанию 6.

Преобразуем множители в левой части:

$216 = 6^3$, поэтому $216^{x-1} = (6^3)^{x-1} = 6^{3(x-1)} = 6^{3x-3}$.

$36 = 6^2$, поэтому $\sqrt{36^x} = (36^x)^{1/2} = ((6^2)^x)^{1/2} = (6^{2x})^{1/2} = 6^{2x/2} = 6^x$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$6^{3x-3} \cdot 6^x = 6^{0.5x}$.

Складываем показатели в левой части:

$6^{3x-3+x} = 6^{0.5x} \implies 6^{4x-3} = 6^{0.5x}$.

Приравниваем показатели степеней:

$4x - 3 = 0.5x$.

Решаем уравнение:

$4x - 0.5x = 3$.

$3.5x = 3$.

$x = \frac{3}{3.5} = \frac{3}{7/2} = 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $x = \frac{6}{7}$.

32. 1) $2^x - 5 \cdot 2^{x-4} = 11;$

2) $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21;$

3) $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35;$

4) $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11.$

1) Дано показательное уравнение: $2^{2x} - 5 \cdot 2^{x+4} = 11$.

Используем свойства степеней для преобразования уравнения: $2^{2x} = (2^x)^2$ и $2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 5 \cdot (16 \cdot 2^x) = 11$

$(2^x)^2 - 80 \cdot 2^x - 11 = 0$

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 80t - 11 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 6400 + 44 = 6444$.

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 \pm \sqrt{6444}}{2} = 40 \pm \frac{\sqrt{4 \cdot 1611}}{2} = 40 \pm \frac{2\sqrt{1611}}{2} = 40 \pm \sqrt{1611}$.

Мы получили два корня: $t_1 = 40 + \sqrt{1611}$ и $t_2 = 40 - \sqrt{1611}$.

Проверим соответствие корней условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 40 + \sqrt{1611}$ очевидно положителен.

Для корня $t_2 = 40 - \sqrt{1611}$ сравним $40$ и $\sqrt{1611}$. Так как $40^2 = 1600$, а $(\sqrt{1611})^2 = 1611$, то $\sqrt{1611} > 40$. Следовательно, $t_2 < 0$, что не удовлетворяет условию $t>0$.

Таким образом, подходит только один корень $t = 40 + \sqrt{1611}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = 40 + \sqrt{1611}$

Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$x = \log_2(40 + \sqrt{1611})$.

Ответ: $x = \log_2(40 + \sqrt{1611})$.

2) Дано показательное уравнение: $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21$.

Преобразуем член $5^{x-2}$ по свойству степени: $5^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-2} = \frac{1}{25} \cdot 5^x$.

Подставим в уравнение:

$5^x - 4 \cdot \frac{1}{25} \cdot 5^x = 21$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x (1 - \frac{4}{25}) = 21$

$5^x (\frac{25-4}{25}) = 21$

$5^x \cdot \frac{21}{25} = 21$

Разделим обе части уравнения на 21 и умножим на 25:

$5^x = 25$

Представим 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.

$5^x = 5^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

3) Дано показательное уравнение: $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35$.

Используя свойства степеней, преобразуем члены уравнения, чтобы выделить $2^x$:

$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$

$2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2^x) + 16 \cdot 2^x = 35$

$\frac{3}{2} \cdot 2^x + 16 \cdot 2^x = 35$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x (\frac{3}{2} + 16) = 35$

$2^x (\frac{3}{2} + \frac{32}{2}) = 35$

$2^x \cdot \frac{35}{2} = 35$

Разделим обе части на 35 и умножим на 2:

$2^x = 2$

Так как $2 = 2^1$, получаем:

$2^x = 2^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

4) Дано показательное уравнение: $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11$.

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней, чтобы выделить $6^x$:

$6^{x-1} = 6^x \cdot 6^{-1} = \frac{1}{6} \cdot 6^x$

$6^{x-2} = 6^x \cdot 6^{-2} = \frac{1}{36} \cdot 6^x$

Подставим выражения в уравнение:

$\frac{1}{6} \cdot 6^x + 5 \cdot (\frac{1}{36} \cdot 6^x) = 11$

$\frac{1}{6} \cdot 6^x + \frac{5}{36} \cdot 6^x = 11$

Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки:

$6^x (\frac{1}{6} + \frac{5}{36}) = 11$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 36:

$6^x (\frac{6}{36} + \frac{5}{36}) = 11$

$6^x \cdot \frac{11}{36} = 11$

Разделим обе части уравнения на 11 и умножим на 36:

$6^x = 36$

Представим 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$.

$6^x = 6^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

33. 1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341;$

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361;$

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15;$

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49.$

1) $7^{x+1} - 2 \cdot 7^{x-2} = 341$

Используем свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = a^m / a^n$, чтобы привести все члены уравнения к одному основанию $7^x$.

$7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^x$

$7^{x-2} = 7^x \cdot 7^{-2} = \frac{7^x}{7^2} = \frac{7^x}{49}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$7 \cdot 7^x - 2 \cdot \frac{7^x}{49} = 341$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x \left(7 - \frac{2}{49}\right) = 341$

Упростим выражение в скобках:

$7 - \frac{2}{49} = \frac{7 \cdot 49}{49} - \frac{2}{49} = \frac{343 - 2}{49} = \frac{341}{49}$

Получаем уравнение:

$7^x \cdot \frac{341}{49} = 341$

Разделим обе части на 341:

$\frac{7^x}{49} = 1$

$7^x = 49$

Представим 49 как степень 7:

$7^x = 7^2$

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $x=2$

2) $3 \cdot 11^{x+1} - 2 \cdot 11^{x-1} = 361$

Приведем все члены уравнения к одному основанию $11^x$:

$11^{x+1} = 11^x \cdot 11^1 = 11 \cdot 11^x$

$11^{x-1} = 11^x \cdot 11^{-1} = \frac{11^x}{11}$

Подставим в уравнение:

$3 \cdot (11 \cdot 11^x) - 2 \cdot \frac{11^x}{11} = 361$

$33 \cdot 11^x - \frac{2}{11} \cdot 11^x = 361$

Вынесем $11^x$ за скобки:

$11^x \left(33 - \frac{2}{11}\right) = 361$

Упростим выражение в скобках:

$33 - \frac{2}{11} = \frac{33 \cdot 11}{11} - \frac{2}{11} = \frac{363 - 2}{11} = \frac{361}{11}$

Получаем уравнение:

$11^x \cdot \frac{361}{11} = 361$

Разделим обе части на 361:

$\frac{11^x}{11} = 1$

$11^x = 11$

$11^x = 11^1$

Отсюда $x = 1$.

Ответ: $x=1$

3) $2^{x-1} + 3 \cdot 2^{x-2} + 5 \cdot 2^{x-3} = 15$

Приведем все члены уравнения к одному основанию $2^x$:

$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{2^x}{2}$

$2^{x-2} = 2^x \cdot 2^{-2} = \frac{2^x}{4}$

$2^{x-3} = 2^x \cdot 2^{-3} = \frac{2^x}{8}$

Подставим в уравнение:

$\frac{2^x}{2} + 3 \cdot \frac{2^x}{4} + 5 \cdot \frac{2^x}{8} = 15$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x \left(\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}\right) = 15$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 8:

$\frac{1 \cdot 4}{8} + \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{5}{8} = \frac{4+6+5}{8} = \frac{15}{8}$

Получаем уравнение:

$2^x \cdot \frac{15}{8} = 15$

Разделим обе части на 15:

$\frac{2^x}{8} = 1$

$2^x = 8$

Представим 8 как степень 2:

$2^x = 2^3$

Отсюда $x = 3$.

Ответ: $x=3$

4) $7 \cdot 3^{x-2} - 3^{x-1} + 5 \cdot 3^x = 49$

Приведем все члены уравнения к одному основанию $3^x$:

$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{3^x}{9}$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{3^x}{3}$

Подставим в уравнение:

$7 \cdot \frac{3^x}{9} - \frac{3^x}{3} + 5 \cdot 3^x = 49$

Вынесем $3^x$ за скобки:

$3^x \left(\frac{7}{9} - \frac{1}{3} + 5\right) = 49$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 9:

$\frac{7}{9} - \frac{1 \cdot 3}{9} + \frac{5 \cdot 9}{9} = \frac{7-3+45}{9} = \frac{49}{9}$

Получаем уравнение:

$3^x \cdot \frac{49}{9} = 49$

Разделим обе части на 49:

$\frac{3^x}{9} = 1$

$3^x = 9$

Представим 9 как степень 3:

$3^x = 3^2$

Отсюда $x = 2$.

Ответ: $x=2$

34. 1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x;$

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0;$

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0;$

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0.$

1) $4^x + 16 = 10 \cdot 2^x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$4^x - 10 \cdot 2^x + 16 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному относительно $2^x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 10t + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = 8$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

1. Если $t_1 = 2$, то $2^x = 2 \implies 2^x = 2^1 \implies x = 1$.

2. Если $t_2 = 8$, то $2^x = 8 \implies 2^x = 2^3 \implies x = 3$.

Ответ: $1; 3$.

2) $9^x - 36 \cdot 3^x + 243 = 0$

Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$. Сведем уравнение к квадратному.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 36t + 243 = 0$

Решим его с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 243 = 1296 - 972 = 324 = 18^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 18}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 18}{2} = \frac{54}{2} = 27$

Оба корня положительны, поэтому подходят.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = 9$, то $3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.

2. Если $t_2 = 27$, то $3^x = 27 \implies 3^x = 3^3 \implies x = 3$.

Ответ: $2; 3$.

3) $25^x - \frac{26}{5} \cdot 5^x + 1 = 0$

Представим $25^x$ как $(5^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - \frac{26}{5}t + 1 = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Вернемся к переменной $x$:

1. Если $t_1 = \frac{1}{5}$, то $5^x = \frac{1}{5} \implies 5^x = 5^{-1} \implies x = -1$.

2. Если $t_2 = 5$, то $5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.

Ответ: $-1; 1$.

4) $36^x - \frac{7}{36} \cdot 6^x + \frac{1}{216} = 0$

Представим $36^x$ как $(6^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 6^x$, где $t > 0$.

Уравнение принимает вид:

$t^2 - \frac{7}{36}t + \frac{1}{216} = 0$

Умножим обе части уравнения на 216, чтобы избавиться от дробей:

$216t^2 - 216 \cdot \frac{7}{36}t + 216 \cdot \frac{1}{216} = 0$

$216t^2 - 6 \cdot 7t + 1 = 0$

$216t^2 - 42t + 1 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-42)^2 - 4 \cdot 216 \cdot 1 = 1764 - 864 = 900 = 30^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{42 - 30}{2 \cdot 216} = \frac{12}{432} = \frac{1}{36}$

$t_2 = \frac{42 + 30}{2 \cdot 216} = \frac{72}{432} = \frac{1}{6}$

Оба корня положительны.

Выполним обратную замену:

1. Если $t_1 = \frac{1}{36}$, то $6^x = \frac{1}{36} \implies 6^x = 6^{-2} \implies x = -2$.

2. Если $t_2 = \frac{1}{6}$, то $6^x = \frac{1}{6} \implies 6^x = 6^{-1} \implies x = -1$.

Ответ: $-2; -1$.

35. 1) $4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0;$

2) $3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7;$

3) $4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}};$

4) $25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}.$

1) $4^{x+1} + 4^{1-x} - 10 = 0$

Используем свойства степеней: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$.

Преобразуем уравнение: $4^x \cdot 4^1 + \frac{4^1}{4^x} - 10 = 0$

$4 \cdot 4^x + \frac{4}{4^x} - 10 = 0$

Введем замену: пусть $y = 4^x$. Так как показательная функция всегда положительна, $y > 0$.

Получаем уравнение с новой переменной: $4y + \frac{4}{y} - 10 = 0$.

Умножим обе части уравнения на $y$ (так как $y \neq 0$):

$4y^2 + 4 - 10y = 0$

$4y^2 - 10y + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения: $2y^2 - 5y + 2 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm 3}{4}$.

$y_1 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$y_2 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Оба корня положительны, поэтому подходят под условие $y > 0$.

Выполняем обратную замену:

1. $4^x = y_1 \implies 4^x = 2 \implies (2^2)^x = 2^1 \implies 2^{2x} = 2^1 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$.

2. $4^x = y_2 \implies 4^x = \frac{1}{2} \implies (2^2)^x = 2^{-1} \implies 2^{2x} = 2^{-1} \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $x = \frac{1}{2}; x = -\frac{1}{2}$.

2) $3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7$

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней: $3^1 \cdot 3^x - 2 \cdot \frac{3^1}{3^x} = 7$.

$3 \cdot 3^x - \frac{6}{3^x} = 7$.

Введем замену: пусть $y = 3^x$, где $y > 0$.

Подставляем замену в уравнение: $3y - \frac{6}{y} = 7$.

Умножим обе части на $y$ ($y \neq 0$): $3y^2 - 6 = 7y$.

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $3y^2 - 7y - 6 = 0$.

Решаем квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения: $y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 11}{2 \cdot 3} = \frac{7 \pm 11}{6}$.

$y_1 = \frac{7+11}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

$y_2 = \frac{7-11}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.

Так как $y > 0$, корень $y_2 = -\frac{2}{3}$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 3$:

$3^x = 3 \implies 3^x = 3^1 \implies x = 1$.

Ответ: $x=1$.

3) $4^{\sqrt{x+3}} - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Представим $4^{\sqrt{x+3}}$ как $(2^2)^{\sqrt{x+3}} = (2^{\sqrt{x+3}})^2$.

Уравнение принимает вид: $(2^{\sqrt{x+3}})^2 - 32 = 4 \cdot 2^{\sqrt{x+3}}$.

Введем замену: пусть $y = 2^{\sqrt{x+3}}$. Так как $\sqrt{x+3} \ge 0$, то $y = 2^{\sqrt{x+3}} \ge 2^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - 32 = 4y$.

$y^2 - 4y - 32 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=8$ и $y_2=-4$.

Так как $y \ge 1$, корень $y_2 = -4$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 8$:

$2^{\sqrt{x+3}} = 8 \implies 2^{\sqrt{x+3}} = 2^3$.

Приравниваем показатели степени: $\sqrt{x+3} = 3$.

Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x+3})^2 = 3^2 \implies x+3 = 9$.

$x = 6$.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $6 \ge -3$. Удовлетворяет.

Ответ: $x=6$.

4) $25^{\sqrt{x+2}} - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

Представим $25^{\sqrt{x+2}}$ как $(5^2)^{\sqrt{x+2}} = (5^{\sqrt{x+2}})^2$.

Уравнение принимает вид: $(5^{\sqrt{x+2}})^2 - 10 = 3 \cdot 5^{\sqrt{x+2}}$.

Введем замену: пусть $y = 5^{\sqrt{x+2}}$. Так как $\sqrt{x+2} \ge 0$, то $y = 5^{\sqrt{x+2}} \ge 5^0 = 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $y$: $y^2 - 10 = 3y$.

$y^2 - 3y - 10 = 0$.

Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $y_1=5$ и $y_2=-2$.

Так как $y \ge 1$, корень $y_2 = -2$ является посторонним.

Выполняем обратную замену для $y_1 = 5$:

$5^{\sqrt{x+2}} = 5 \implies 5^{\sqrt{x+2}} = 5^1$.

Приравниваем показатели степени: $\sqrt{x+2} = 1$.

Возводим обе части в квадрат: $(\sqrt{x+2})^2 = 1^2 \implies x+2 = 1$.

$x = -1$.

Проверяем, удовлетворяет ли корень ОДЗ: $-1 \ge -2$. Удовлетворяет.

Ответ: $x=-1$.

Решите логарифмические уравнения (36–41):

36. 1) $log_4(x^2 - 5) = 1;$

2) $log_6(x^2 - 2) = 1;$

3) $log_3(4 + \sqrt{x}) = 2;$

4) $log_5(\sqrt{x} + 1) = 2.$

1) Решим уравнение $log_4(x^2 - 5) = 1$.

Согласно определению логарифма, уравнение $log_a(b) = c$ равносильно уравнению $a^c = b$. Применив это правило, получим:

$x^2 - 5 = 4^1$

$x^2 - 5 = 4$

Перенесем -5 в правую часть уравнения и сложим:

$x^2 = 4 + 5$

$x^2 = 9$

Извлекая квадратный корень из обеих частей, находим два возможных значения для $x$:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь необходимо выполнить проверку, подставив найденные корни в область допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения. Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$x^2 - 5 > 0$

Проверяем корень $x = 3$:

$3^2 - 5 = 9 - 5 = 4$. Так как $4 > 0$, корень подходит.

Проверяем корень $x = -3$:

$(-3)^2 - 5 = 9 - 5 = 4$. Так как $4 > 0$, этот корень также подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x = \pm 3$.

2) Решим уравнение $log_6(x^2 - 2) = 1$.

По определению логарифма:

$x^2 - 2 = 6^1$

$x^2 - 2 = 6$

Переносим -2 в правую часть:

$x^2 = 6 + 2$

$x^2 = 8$

Находим корни:

$x = \pm\sqrt{8} = \pm\sqrt{4 \cdot 2} = \pm 2\sqrt{2}$.

Проверим ОДЗ. Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$x^2 - 2 > 0$

Проверяем корни $x = \pm 2\sqrt{2}$:

$(\pm 2\sqrt{2})^2 - 2 = 4 \cdot 2 - 2 = 8 - 2 = 6$. Так как $6 > 0$, оба корня являются решениями.

Ответ: $x = \pm 2\sqrt{2}$.

3) Решим уравнение $log_3(4 + \sqrt{x}) = 2$.

По определению логарифма:

$4 + \sqrt{x} = 3^2$

$4 + \sqrt{x} = 9$

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 9 - 4$

$\sqrt{x} = 5$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы найти $x$:

$x = 5^2 = 25$.

Проверим ОДЗ. Для исходного уравнения необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным ($x \ge 0$), а аргумент логарифма — строго положительным ($4 + \sqrt{x} > 0$).

Проверяем корень $x = 25$:

$25 \ge 0$, это верно.

$4 + \sqrt{25} = 4 + 5 = 9$. Так как $9 > 0$, это тоже верно.

Корень удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $x = 25$.

4) Решим уравнение $log_5(\sqrt{x} + 1) = 2$.

Используем определение логарифма:

$\sqrt{x} + 1 = 5^2$

$\sqrt{x} + 1 = 25$

Выразим $\sqrt{x}$:

$\sqrt{x} = 25 - 1$

$\sqrt{x} = 24$

Возводим обе части в квадрат:

$x = 24^2 = 576$.

Проверим ОДЗ: $x \ge 0$ и $\sqrt{x} + 1 > 0$.

Проверяем корень $x = 576$:

$576 \ge 0$, верно.

$\sqrt{576} + 1 = 24 + 1 = 25$. Так как $25 > 0$, верно.

Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = 576$.

37. 1) $log_5(2x + 3) + log_5(4 - x) = 1;$

2) $log_7(3x - 17) - log_7(x + 1) = 0;$

3) $log_2(2x - 1) + log_2(x + 3) = 2;$

4) $log_{\frac{1}{4}}(4x + 5) = log_{\frac{1}{4}}(5x + 2).$

1) Решим уравнение $\log_5(2x + 3) + \log_5(4 - x) = 1$.

Сначала найдем Область Допустимых Значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} 2x + 3 > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > -3 \\ x < 4 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1.5 \\ x < 4 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-1.5; 4)$.

Теперь решим само уравнение. Используем свойство суммы логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

$\log_5((2x + 3)(4 - x)) = 1$

По определению логарифма ($b = a^c$ для $\log_a(b) = c$):

$(2x + 3)(4 - x) = 5^1$

$8x - 2x^2 + 12 - 3x = 5$

Приведем подобные слагаемые и получим квадратное уравнение:

$-2x^2 + 5x + 12 - 5 = 0$

$-2x^2 + 5x + 7 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$2x^2 - 5x - 7 = 0$

Найдем корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{14}{4} = 3.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ $x \in (-1.5; 4)$.

Корень $x_1 = 3.5$ удовлетворяет условию, так как $-1.5 < 3.5 < 4$.

Корень $x_2 = -1$ также удовлетворяет условию, так как $-1.5 < -1 < 4$.

Ответ: -1; 3.5

2) Решим уравнение $\log_7(3x - 17) - \log_7(x + 1) = 0$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3x - 17 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3x > 17 \\ x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 17/3 \\ x > -1 \end{cases}$

Так как $17/3 \approx 5.67$, более строгим является первое неравенство. ОДЗ: $x > 17/3$.

Перенесем второй логарифм в правую часть:

$\log_7(3x - 17) = \log_7(x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$3x - 17 = x + 1$

$3x - x = 1 + 17$

$2x = 18$

$x = 9$

Проверим корень по ОДЗ. $9 > 17/3$ (т.к. $9 > 5.67$), значит, корень подходит.

Ответ: 9

3) Решим уравнение $\log_2(2x - 1) + \log_2(x + 3) = 2$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\ x + 3 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2x > 1 \\ x > -3 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 0.5 \\ x > -3 \end{cases}$

Объединяя условия, получаем ОДЗ: $x > 0.5$.

Используем свойство суммы логарифмов:

$\log_2((2x - 1)(x + 3)) = 2$

По определению логарифма:

$(2x - 1)(x + 3) = 2^2$

$2x^2 + 6x - x - 3 = 4$

$2x^2 + 5x - 7 = 0$

Найдем корни через дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 25 + 56 = 81 = 9^2$

$x_1 = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$

$x_2 = \frac{-5 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-14}{4} = -3.5$

Проверим корни по ОДЗ ($x > 0.5$).

Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $1 > 0.5$.

Корень $x_2 = -3.5$ не удовлетворяет условию, так как $-3.5 < 0.5$. Это посторонний корень.

Ответ: 1

4) Решим уравнение $\log_{1/4}(4x + 5) = \log_{1/4}(5x + 2)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 4x + 5 > 0 \\ 5x + 2 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 4x > -5 \\ 5x > -2 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -5/4 \\ x > -2/5 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1.25 \\ x > -0.4 \end{cases}$

Более строгим является второе неравенство, поэтому ОДЗ: $x > -0.4$.

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$4x + 5 = 5x + 2$

$5 - 2 = 5x - 4x$

$x = 3$

Проверим корень по ОДЗ. $3 > -0.4$, значит, корень подходит.

Ответ: 3

38. 1) $\log_3(x + 1) - \log_3(x - 1) = 1$;

2) $\log_7(x^2 + 6x) = 1$;

3) $\log_3(x^2 - x) = 1$;

4) $\log_4(7x + 4) - \log_4(2x - 1) = 1$.

1) $ \log_3(x+1) - \log_3(x-1) = 1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$ \begin{cases} x+1 > 0 \\ x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -1 \\ x > 1 \end{cases} \implies x > 1 $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (1; +\infty) $.

Теперь решим уравнение. Используем свойство разности логарифмов $ \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} $:

$ \log_3\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = 1 $

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $), получаем:

$ \frac{x+1}{x-1} = 3^1 $

$ \frac{x+1}{x-1} = 3 $

Так как из ОДЗ $ x > 1 $, то $ x-1 \neq 0 $. Умножим обе части на $ (x-1) $:

$ x+1 = 3(x-1) $

$ x+1 = 3x - 3 $

$ 4 = 2x $

$ x = 2 $

Проверим, соответствует ли корень ОДЗ. Так как $ 2 > 1 $, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: 2

2) $ \log_7(x^2 + 6x) = 1 $

Определим ОДЗ: $ x^2 + 6x > 0 $. Разложим на множители: $ x(x+6) > 0 $.

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $ x \in (-\infty, -6) \cup (0, \infty) $.

Перейдем к решению уравнения по определению логарифма:

$ x^2 + 6x = 7^1 $

$ x^2 + 6x - 7 = 0 $

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -6, а произведение равно -7. Отсюда находим корни: $ x_1 = -7 $ и $ x_2 = 1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

Для $ x_1 = -7 $: $ -7 < -6 $, корень подходит.

Для $ x_2 = 1 $: $ 1 > 0 $, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -7; 1

3) $ \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x) = -1 $

Определим ОДЗ: $ x^2 - x > 0 $. Разложим на множители: $ x(x-1) > 0 $.

Решая неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $.

Решим уравнение, используя определение логарифма:

$ x^2 - x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1} $

$ x^2 - x = 2 $

$ x^2 - x - 2 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -1 $.

Проверим корни на соответствие ОДЗ:

Для $ x_1 = 2 $: $ 2 > 1 $, корень подходит.

Для $ x_2 = -1 $: $ -1 < 0 $, корень подходит.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1; 2

4) $ \log_4(7x+4) - \log_4(2x-1) = 1 $

Определим ОДЗ:

$ \begin{cases} 7x+4 > 0 \\ 2x-1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 7x > -4 \\ 2x > 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -\frac{4}{7} \\ x > \frac{1}{2} \end{cases} \implies x > \frac{1}{2} $

Таким образом, ОДЗ: $ x \in (\frac{1}{2}; +\infty) $.

Используем свойство разности логарифмов:

$ \log_4\left(\frac{7x+4}{2x-1}\right) = 1 $

По определению логарифма:

$ \frac{7x+4}{2x-1} = 4^1 $

$ \frac{7x+4}{2x-1} = 4 $

Так как из ОДЗ $ x > \frac{1}{2} $, то $ 2x-1 \neq 0 $. Умножим обе части на $ (2x-1) $:

$ 7x+4 = 4(2x-1) $

$ 7x+4 = 8x-4 $

$ 8 = x $

Проверим корень на соответствие ОДЗ. Так как $ 8 > \frac{1}{2} $, корень принадлежит ОДЗ.

Ответ: 8

39. 1) $(\log_{\frac{1}{2}} x)^2 + 2\log_{\frac{1}{2}} x - 3 = 0;

2) $2\log_3(x - 1) = \log_3(1,5x + 1);

3) $\log_2(x^2 + 4x + 1) = \log_2(6x + 2) - 1;

4) $\log_3(3 - x) - 2\log_3 2 = 1 - \log_3(4 - x).$

1) Исходное уравнение: $log_{\frac{1}{2}}^2 x + 2log_{\frac{1}{2}} x - 3 = 0$.

Это логарифмическое уравнение является квадратным относительно $log_{\frac{1}{2}} x$.

Область допустимых значений (ОДЗ): аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть $x > 0$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = log_{\frac{1}{2}} x$. Тогда уравнение примет вид:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно -3, а сумма корней равна -2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -3$.

Теперь выполним обратную замену:

1. $log_{\frac{1}{2}} x = 1$

По определению логарифма: $x = (\frac{1}{2})^1 = \frac{1}{2}$.

2. $log_{\frac{1}{2}} x = -3$

По определению логарифма: $x = (\frac{1}{2})^{-3} = 2^3 = 8$.

Оба корня, $x = \frac{1}{2}$ и $x = 8$, удовлетворяют ОДЗ ($x > 0$).

Ответ: $x_1 = \frac{1}{2}, x_2 = 8$.

2) Исходное уравнение: $2log_3(x - 1) = log_3(1,5x + 1)$.

Найдем ОДЗ. Аргументы логарифмов должны быть больше нуля:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 1,5x + 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ 1,5x > -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{1}{1,5} \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x > -\frac{2}{3} \end{cases}$

Общей областью допустимых значений является $x > 1$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойство логарифма $n \cdot log_a b = log_a b^n$:

$log_3(x - 1)^2 = log_3(1,5x + 1)$

Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

$(x - 1)^2 = 1,5x + 1$

$x^2 - 2x + 1 = 1,5x + 1$

$x^2 - 2x - 1,5x + 1 - 1 = 0$

$x^2 - 3,5x = 0$

$x(x - 3,5) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3,5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 1$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию $x > 1$, следовательно, это посторонний корень.

$x_2 = 3,5$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Ответ: $x = 3,5$.

3) Исходное уравнение: $log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - 1$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} x^2 + 4x + 1 > 0 \\ 6x + 2 > 0 \end{cases}$

Из второго неравенства: $6x > -2 \implies x > -\frac{1}{3}$.

Для первого неравенства найдем корни уравнения $x^2 + 4x + 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12$. Корни $x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$. Парабола ветвями вверх, значит $x^2 + 4x + 1 > 0$ при $x \in (-\infty; -2-\sqrt{3}) \cup (-2+\sqrt{3}; +\infty)$.

Учитывая, что $-2+\sqrt{3} \approx -2+1,73 = -0,27$, а $-\frac{1}{3} \approx -0,33$, пересечением двух условий будет $x > -2+\sqrt{3}$.

Представим 1 в виде логарифма с основанием 2: $1 = log_2 2$.

$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(6x + 2) - log_2 2$

Используем свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a(\frac{b}{c})$:

$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(\frac{6x + 2}{2})$

$log_2(x^2 + 4x + 1) = log_2(3x + 1)$

Приравниваем аргументы:

$x^2 + 4x + 1 = 3x + 1$

$x^2 + x = 0$

$x(x + 1) = 0$

Получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > -2+\sqrt{3} \approx -0,27$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 > -0,27$).

$x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < -0,27$).

Ответ: $x = 0$.

4) Исходное уравнение: $log_3(3 - x) - 2log_3 2 = 1 - log_3(4 - x)$.

Найдем ОДЗ:

$\begin{cases} 3 - x > 0 \\ 4 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 3 \\ x < 4 \end{cases}$

Общая область допустимых значений: $x < 3$.

Перенесем все логарифмы в одну часть уравнения, а числовые значения в другую:

$log_3(3 - x) + log_3(4 - x) = 1 + 2log_3 2$

Применим свойства логарифмов:

$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3 2^2$

$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 3 + log_3 4$

$log_3((3 - x)(4 - x)) = log_3 (3 \cdot 4)$

$log_3(12 - 7x + x^2) = log_3 12$

Приравниваем аргументы:

$x^2 - 7x + 12 = 12$

$x^2 - 7x = 0$

$x(x - 7) = 0$

Получаем корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.

Проверим корни по ОДЗ ($x < 3$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию ($0 < 3$).

$x_2 = 7$ не удовлетворяет условию ($7 \not< 3$).

Ответ: $x = 0$.

40. 1) $\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1$;

2) $\frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1$.

1)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2)}{\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)} = 1 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго больше нуля, а знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

1. $x^2 - 5x + 2 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 2 = 0$. По формуле корней квадратного уравнения:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 25 - 8 = 17$

$x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2}$

Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$.

2. $6 - 5x > 0$

$6 > 5x$

$x < \frac{6}{5}$ или $x < 1.2$

3. $\log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x) \neq 0$

$6 - 5x \neq (\frac{1}{2})^0$

$6 - 5x \neq 1$

$5 \neq 5x$

$x \neq 1$

Объединим все условия ОДЗ. Нам нужно пересечение множеств $(-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2}) \cup (\frac{5 + \sqrt{17}}{2}; +\infty)$ и $(-\infty; 1.2)$, при этом $x \neq 1$.

Оценим значения корней: $\sqrt{16} < \sqrt{17} < \sqrt{25}$, т.е. $4 < \sqrt{17} < 5$.

$\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 - 4.12}{2} = 0.44$

$\frac{5 + \sqrt{17}}{2} \approx \frac{5 + 4.12}{2} = 4.56$

Пересечение интервала $(-\infty; 1.2)$ с $(-\infty; 0.44) \cup (4.56; +\infty)$ дает нам интервал $(-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$. Точка $x=1$ не входит в этот интервал, поэтому дополнительно ее исключать не нужно.

Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$.

Теперь решим само уравнение. Умножим обе части на знаменатель (на ОДЗ он не равен нулю):

$\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 5x + 2) = \log_{\frac{1}{2}}(6 - 5x)$

Так как основания логарифмов одинаковы, приравниваем их аргументы:

$x^2 - 5x + 2 = 6 - 5x$

$x^2 + 2 - 6 = 0$

$x^2 - 4 = 0$

$(x-2)(x+2) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ: $x \in (-\infty; \frac{5 - \sqrt{17}}{2})$.

Так как $\frac{5 - \sqrt{17}}{2} \approx 0.44$, то:

- $x_1 = 2$ не принадлежит ОДЗ, так как $2 > 0.44$. Это посторонний корень.

- $x_2 = -2$ принадлежит ОДЗ, так как $-2 < 0.44$.

Единственным решением является $x = -2$.

Ответ: $-2$

2)

Исходное уравнение:

$$ \frac{\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2)}{\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)} = 1 $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $3x + 2x^2 > 0$

$x(3 + 2x) > 0$

Корни уравнения $x(3+2x) = 0$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{3}{2}$.

Ветви параболы $y = 2x^2 + 3x$ направлены вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty; -\frac{3}{2}) \cup (0; +\infty)$.

2. $6x + 2 > 0$

$6x > -2$

$x > -\frac{2}{6}$ или $x > -\frac{1}{3}$

3. $\log_{\frac{1}{3}}(6x + 2) \neq 0$

$6x + 2 \neq (\frac{1}{3})^0$

$6x + 2 \neq 1$

$6x \neq -1$

$x \neq -\frac{1}{6}$

Найдем пересечение всех условий: $(-\infty; -1.5) \cup (0; +\infty)$ и $(-1/3; +\infty)$.

Пересечение дает интервал $(0; +\infty)$. Условие $x \neq -1/6$ выполняется, так как эта точка не входит в полученный интервал.

Итак, ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

Теперь решим уравнение. Умножим обе части на знаменатель:

$\log_{\frac{1}{3}}(3x + 2x^2) = \log_{\frac{1}{3}}(6x + 2)$

Приравниваем аргументы логарифмов:

$3x + 2x^2 = 6x + 2$

$2x^2 - 3x - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}$

Получаем два корня:

$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$

Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ: $x \in (0; +\infty)$.

- $x_1 = 2$ принадлежит ОДЗ, так как $2 > 0$.

- $x_2 = -1/2$ не принадлежит ОДЗ, так как $-1/2 < 0$. Это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 2$.

Ответ: $2$