Номер 32, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

32. 1) $2^x - 5 \cdot 2^{x-4} = 11;$

2) $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21;$

3) $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35;$

4) $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11.$

1) Дано показательное уравнение: $2^{2x} - 5 \cdot 2^{x+4} = 11$.

Используем свойства степеней для преобразования уравнения: $2^{2x} = (2^x)^2$ и $2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 5 \cdot (16 \cdot 2^x) = 11$

$(2^x)^2 - 80 \cdot 2^x - 11 = 0$

Для решения введем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

Уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 80t - 11 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-80)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-11) = 6400 + 44 = 6444$.

Корни для $t$ равны:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{80 \pm \sqrt{6444}}{2} = 40 \pm \frac{\sqrt{4 \cdot 1611}}{2} = 40 \pm \frac{2\sqrt{1611}}{2} = 40 \pm \sqrt{1611}$.

Мы получили два корня: $t_1 = 40 + \sqrt{1611}$ и $t_2 = 40 - \sqrt{1611}$.

Проверим соответствие корней условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 40 + \sqrt{1611}$ очевидно положителен.

Для корня $t_2 = 40 - \sqrt{1611}$ сравним $40$ и $\sqrt{1611}$. Так как $40^2 = 1600$, а $(\sqrt{1611})^2 = 1611$, то $\sqrt{1611} > 40$. Следовательно, $t_2 < 0$, что не удовлетворяет условию $t>0$.

Таким образом, подходит только один корень $t = 40 + \sqrt{1611}$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$2^x = 40 + \sqrt{1611}$

Чтобы найти $x$, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$x = \log_2(40 + \sqrt{1611})$.

Ответ: $x = \log_2(40 + \sqrt{1611})$.

2) Дано показательное уравнение: $5^x - 4 \cdot 5^{x-2} = 21$.

Преобразуем член $5^{x-2}$ по свойству степени: $5^{x-2} = 5^x \cdot 5^{-2} = \frac{1}{25} \cdot 5^x$.

Подставим в уравнение:

$5^x - 4 \cdot \frac{1}{25} \cdot 5^x = 21$

Вынесем общий множитель $5^x$ за скобки:

$5^x (1 - \frac{4}{25}) = 21$

$5^x (\frac{25-4}{25}) = 21$

$5^x \cdot \frac{21}{25} = 21$

Разделим обе части уравнения на 21 и умножим на 25:

$5^x = 25$

Представим 25 в виде степени с основанием 5: $25 = 5^2$.

$5^x = 5^2$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.

3) Дано показательное уравнение: $3 \cdot 2^{x-1} + 2^{x+4} = 35$.

Используя свойства степеней, преобразуем члены уравнения, чтобы выделить $2^x$:

$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$

$2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4 = 16 \cdot 2^x$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$3 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2^x) + 16 \cdot 2^x = 35$

$\frac{3}{2} \cdot 2^x + 16 \cdot 2^x = 35$

Вынесем $2^x$ за скобки:

$2^x (\frac{3}{2} + 16) = 35$

$2^x (\frac{3}{2} + \frac{32}{2}) = 35$

$2^x \cdot \frac{35}{2} = 35$

Разделим обе части на 35 и умножим на 2:

$2^x = 2$

Так как $2 = 2^1$, получаем:

$2^x = 2^1$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 1$.

Ответ: $x = 1$.

4) Дано показательное уравнение: $6^{x-1} + 5 \cdot 6^{x-2} = 11$.

Преобразуем члены уравнения, используя свойства степеней, чтобы выделить $6^x$:

$6^{x-1} = 6^x \cdot 6^{-1} = \frac{1}{6} \cdot 6^x$

$6^{x-2} = 6^x \cdot 6^{-2} = \frac{1}{36} \cdot 6^x$

Подставим выражения в уравнение:

$\frac{1}{6} \cdot 6^x + 5 \cdot (\frac{1}{36} \cdot 6^x) = 11$

$\frac{1}{6} \cdot 6^x + \frac{5}{36} \cdot 6^x = 11$

Вынесем общий множитель $6^x$ за скобки:

$6^x (\frac{1}{6} + \frac{5}{36}) = 11$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю 36:

$6^x (\frac{6}{36} + \frac{5}{36}) = 11$

$6^x \cdot \frac{11}{36} = 11$

Разделим обе части уравнения на 11 и умножим на 36:

$6^x = 36$

Представим 36 как степень с основанием 6: $36 = 6^2$.

$6^x = 6^2$

Приравниваем показатели степеней:

$x = 2$.

Ответ: $x = 2$.