Номер 30, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Решите показательные уравнения (30—35):

30. 1) $\sqrt{3^x} = 27^{\frac{2}{3}}$;

2) $\sqrt{5^x} = 25^{\frac{3}{2}}$;

3) $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{\frac{3}{4}}$;

4) $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = \left(\frac{1}{9}\right)^{-0.5}$.

1) $\sqrt{3^x} = 27^{\frac{2}{3}}$

Чтобы решить это показательное уравнение, приведем обе части к одному основанию, в данном случае к 3.

Представим левую часть в виде степени с основанием 3: $\sqrt{3^x} = (3^x)^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{x}{2}}$.

Теперь преобразуем правую часть. Так как $27 = 3^3$, то $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3^2$.

Уравнение принимает вид: $3^{\frac{x}{2}} = 3^2$.

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели: $\frac{x}{2} = 2$.

Отсюда находим $x$, умножив обе части на 2: $x = 4$.

Ответ: $4$.

2) $\sqrt{5^x} = 25^{\frac{3}{2}}$

Приведем обе части уравнения к основанию 5.

Левая часть: $\sqrt{5^x} = (5^x)^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{x}{2}}$.

Правая часть, учитывая что $25 = 5^2$: $25^{\frac{3}{2}} = (5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3$.

Получаем уравнение: $5^{\frac{x}{2}} = 5^3$.

Приравниваем показатели степеней: $\frac{x}{2} = 3$.

Решая уравнение, находим $x = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.

3) $\frac{1}{4} \cdot \sqrt{2^{3x-1}} = 16^{\frac{3}{4}}$

Приведем все множители и части уравнения к основанию 2.

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

$\sqrt{2^{3x-1}} = (2^{3x-1})^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{3x-1}{2}}$.

$16^{\frac{3}{4}} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^{4 \cdot \frac{3}{4}} = 2^3$.

Подставим преобразованные выражения в исходное уравнение: $2^{-2} \cdot 2^{\frac{3x-1}{2}} = 2^3$.

Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$) для левой части: $2^{-2 + \frac{3x-1}{2}} = 2^3$.

Теперь приравниваем показатели: $-2 + \frac{3x-1}{2} = 3$.

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби: $2 \cdot (-2) + (3x-1) = 2 \cdot 3$, что дает $-4 + 3x - 1 = 6$.

$3x - 5 = 6$.

$3x = 11$.

$x = \frac{11}{3}$.

Ответ: $\frac{11}{3}$.

4) $27^{-1} \cdot \sqrt{9^{x+1}} = (\frac{1}{9})^{-0.5}$

Приведем все части уравнения к основанию 3.

$27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}$.

$\sqrt{9^{x+1}} = \sqrt{(3^2)^{x+1}} = \sqrt{3^{2(x+1)}} = (3^{2x+2})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{2x+2}{2}} = 3^{x+1}$.

$(\frac{1}{9})^{-0.5} = (3^{-2})^{-0.5} = 3^{(-2) \cdot (-0.5)} = 3^1 = 3$.

Уравнение принимает вид: $3^{-3} \cdot 3^{x+1} = 3^1$.

Упростим левую часть, сложив показатели: $3^{-3 + x + 1} = 3^1$, то есть $3^{x-2} = 3^1$.

Приравниваем показатели: $x-2 = 1$.

Отсюда $x = 1 + 2 = 3$.

Ответ: $3$.