Номер 31, страница 145 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

31. 1) $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$;

2) $4 \cdot 2^{\min x} = \sqrt{8}$;

3) $25^{-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$;

4) $216^{-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0.5x}$.

1) Чтобы решить уравнение $9 \cdot 3^{\cos x} = \sqrt{27}$, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к 3.

Число 9 можно представить как $3^2$.

Число 27 это $3^3$, следовательно, корень из 27 равен $\sqrt{27} = (3^3)^{1/2} = 3^{3/2}$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$3^2 \cdot 3^{\cos x} = 3^{3/2}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{2 + \cos x} = 3^{3/2}$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2 + \cos x = \frac{3}{2}$.

Теперь решим это уравнение относительно $\cos x$:

$\cos x = \frac{3}{2} - 2 = \frac{3}{2} - \frac{4}{2} = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для тригонометрического уравнения $\cos x = a$ имеет вид $x = \pm \arccos(a) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$.

Так как $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, получаем окончательное решение:

$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

2) Для решения уравнения $4 \cdot 2^{\sin x} = \sqrt{8}$ приведем все части к основанию 2.

Число 4 это $2^2$.

Число 8 это $2^3$, следовательно, $\sqrt{8} = (2^3)^{1/2} = 2^{3/2}$.

Подставляем полученные выражения в уравнение:

$2^2 \cdot 2^{\sin x} = 2^{3/2}$.

Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2 + \sin x} = 2^{3/2}$.

Приравниваем показатели степеней:

$2 + \sin x = \frac{3}{2}$.

Выразим $\sin x$:

$\sin x = \frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$.

Общее решение для уравнения $\sin x = a$ записывается как $x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

$x = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n$.

Поскольку $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, решение будет:

$x = (-1)^n (-\frac{\pi}{6}) + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

3) Решим уравнение $25^{x-1} \cdot \sqrt{125^x} = 5^x$. Для этого приведем все степени к основанию 5.

Преобразуем левую часть уравнения:

$25^{x-1} = (5^2)^{x-1} = 5^{2(x-1)} = 5^{2x-2}$.

$\sqrt{125^x} = (125^x)^{1/2} = ((5^3)^x)^{1/2} = (5^{3x})^{1/2} = 5^{3x/2}$.

Теперь уравнение выглядит так:

$5^{2x-2} \cdot 5^{3x/2} = 5^x$.

Складываем показатели степеней в левой части:

$5^{2x-2 + \frac{3x}{2}} = 5^x$.

Приравниваем показатели:

$2x - 2 + \frac{3x}{2} = x$.

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые - в правую:

$2x + \frac{3x}{2} - x = 2$.

$x + \frac{3x}{2} = 2$.

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 2 \implies \frac{5x}{2} = 2$.

$5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$.

Ответ: $x = \frac{4}{5}$.

4) Решим уравнение $216^{x-1} \cdot \sqrt{36^x} = 6^{0.5x}$. Приведем все части уравнения к основанию 6.

Преобразуем множители в левой части:

$216 = 6^3$, поэтому $216^{x-1} = (6^3)^{x-1} = 6^{3(x-1)} = 6^{3x-3}$.

$36 = 6^2$, поэтому $\sqrt{36^x} = (36^x)^{1/2} = ((6^2)^x)^{1/2} = (6^{2x})^{1/2} = 6^{2x/2} = 6^x$.

Подставим преобразованные выражения в уравнение:

$6^{3x-3} \cdot 6^x = 6^{0.5x}$.

Складываем показатели в левой части:

$6^{3x-3+x} = 6^{0.5x} \implies 6^{4x-3} = 6^{0.5x}$.

Приравниваем показатели степеней:

$4x - 3 = 0.5x$.

Решаем уравнение:

$4x - 0.5x = 3$.

$3.5x = 3$.

$x = \frac{3}{3.5} = \frac{3}{7/2} = 3 \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{7}$.

Ответ: $x = \frac{6}{7}$.