Номер 26, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

26. 1) $x = 7 - \sqrt{3x + 7};$

2) $\sqrt{15 - 3x} - x = 1;$

3) $\sqrt{21x + 25} - 3x = 5;$

4) $\sqrt{121 - 12x} = 11 - 3x.$

1) Решим уравнение $x = 7 - \sqrt{3x+7}$.

Сначала изолируем радикал. Для этого перенесем его в левую часть, а $x$ — в правую:

$\sqrt{3x+7} = 7 - x$

Для того чтобы уравнение имело решение, должны выполняться условия области допустимых значений (ОДЗ):

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $3x+7 \ge 0$, что дает $3x \ge -7$, и следовательно, $x \ge -\frac{7}{3}$.

2. Правая часть уравнения, равная арифметическому квадратному корню, также должна быть неотрицательной: $7 - x \ge 0$, что дает $x \le 7$.

Таким образом, ОДЗ для данного уравнения: $-\frac{7}{3} \le x \le 7$.

Теперь возведем обе части уравнения $\sqrt{3x+7} = 7 - x$ в квадрат, чтобы избавиться от корня:

$(\sqrt{3x+7})^2 = (7-x)^2$

$3x+7 = 49 - 14x + x^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 14x - 3x + 49 - 7 = 0$

$x^2 - 17x + 42 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $17$, а их произведение равно $42$. Легко подобрать корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 14$.

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $-\frac{7}{3} \le x \le 7$.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет неравенству: $-\frac{7}{3} \le 3 \le 7$.

Корень $x_2 = 14$ не удовлетворяет неравенству, так как $14 > 7$. Следовательно, это посторонний корень.

Единственным решением является $x = 3$. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:

$3 = 7 - \sqrt{3(3)+7} \implies 3 = 7 - \sqrt{9+7} \implies 3 = 7 - \sqrt{16} \implies 3 = 7 - 4 \implies 3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $3$.

2) Решим уравнение $\sqrt{15-3x} - x = 1$.

Изолируем радикал в левой части уравнения:

$\sqrt{15-3x} = 1 + x$

Определим ОДЗ:

1. Подрадикальное выражение: $15 - 3x \ge 0 \implies 15 \ge 3x \implies x \le 5$.

2. Правая часть уравнения: $1 + x \ge 0 \implies x \ge -1$.

Общая ОДЗ: $-1 \le x \le 5$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{15-3x})^2 = (1+x)^2$

$15 - 3x = 1 + 2x + x^2$

Приведем к стандартному квадратному уравнению:

$x^2 + 2x + 3x + 1 - 15 = 0$

$x^2 + 5x - 14 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна $-5$, а произведение $-14$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $-1 \le x \le 5$.

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию: $-1 \le 2 \le 5$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < -1$. Это посторонний корень.

Проверим решение $x = 2$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{15-3(2)} - 2 = 1 \implies \sqrt{15-6} - 2 = 1 \implies \sqrt{9} - 2 = 1 \implies 3 - 2 = 1 \implies 1 = 1$. Равенство верное.

Ответ: $2$.

3) Решим уравнение $\sqrt{21x+25} - 3x = 5$.

Изолируем радикал:

$\sqrt{21x+25} = 5 + 3x$

Определим ОДЗ:

1. $21x + 25 \ge 0 \implies 21x \ge -25 \implies x \ge -\frac{25}{21}$.

2. $5 + 3x \ge 0 \implies 3x \ge -5 \implies x \ge -\frac{5}{3}$.

Сравним $-\frac{25}{21}$ и $-\frac{5}{3} = -\frac{35}{21}$. Так как $-\frac{25}{21} > -\frac{35}{21}$, более строгим является условие $x \ge -\frac{25}{21}$.

Возведем обе части в квадрат:

$21x + 25 = (5 + 3x)^2$

$21x + 25 = 25 + 30x + 9x^2$

Приведем к стандартному виду:

$9x^2 + 30x - 21x + 25 - 25 = 0$

$9x^2 + 9x = 0$

Вынесем общий множитель за скобки:

$9x(x + 1) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.

Проверим оба корня на соответствие ОДЗ $x \ge -\frac{25}{21} \approx -1.19$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию: $0 \ge -\frac{25}{21}$.

Корень $x_2 = -1$ также удовлетворяет условию: $-1 \ge -\frac{25}{21}$.

Поскольку оба корня принадлежат ОДЗ, они могут быть решениями. Проведем проверку подстановкой в исходное уравнение.

Для $x = 0$: $\sqrt{21(0)+25} - 3(0) = 5 \implies \sqrt{25} = 5 \implies 5 = 5$. Верно.

Для $x = -1$: $\sqrt{21(-1)+25} - 3(-1) = 5 \implies \sqrt{-21+25} + 3 = 5 \implies \sqrt{4} + 3 = 5 \implies 2+3=5$. Верно.

Оба корня являются решениями.

Ответ: $-1; 0$.

4) Решим уравнение $\sqrt{121-12x} = 11 - 3x$.

Радикал уже изолирован. Определим ОДЗ:

1. $121 - 12x \ge 0 \implies 121 \ge 12x \implies x \le \frac{121}{12} \approx 10.08$.

2. $11 - 3x \ge 0 \implies 11 \ge 3x \implies x \le \frac{11}{3} \approx 3.67$.

Более строгим является второе условие, поэтому ОДЗ: $x \le \frac{11}{3}$.

Возведем обе части в квадрат:

$(\sqrt{121-12x})^2 = (11-3x)^2$

$121 - 12x = 121 - 66x + 9x^2$

Приведем к стандартному виду:

$9x^2 - 66x + 12x + 121 - 121 = 0$

$9x^2 - 54x = 0$

Вынесем общий множитель $9x$ за скобки:

$9x(x - 6) = 0$

Получаем два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ $x \le \frac{11}{3}$.

Корень $x_1 = 0$ удовлетворяет условию: $0 \le \frac{11}{3}$.

Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет условию, так как $6 > \frac{11}{3}$. Это посторонний корень.

Проверим решение $x=0$ подстановкой в исходное уравнение:

$\sqrt{121-12(0)} = 11 - 3(0) \implies \sqrt{121} = 11 \implies 11 = 11$. Равенство верное.

Ответ: $0$.